Résoudre 3/2-sqrt{3}+4/sqrt{3+1}

$$\frac{ 3 }{ 2- \sqrt{ 3 } } + \frac{ 4 }{ \sqrt{ 3 } +1 }$$

Évaluer

$$5\sqrt{3}+4\approx 12,660254038$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{3}{2-\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2+\sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Considérer \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Calculer le carré de 2. Calculer le carré de \sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Soustraire 3 de 4 pour obtenir 1.

$$\frac{3\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Tout nombre divisé par 1 donne lui-même.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4}{\sqrt{3}+1}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{4}{\sqrt{3}+1} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}-1.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Considérer \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Calculer le carré de \sqrt{3}. Calculer le carré de 1.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Soustraire 1 de 3 pour obtenir 2.

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+\frac{4\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Diviser 4\left(\sqrt{3}-1\right) par 2 pour obtenir 2\left(\sqrt{3}-1\right).

$$3\left(2+\sqrt{3}\right)+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 2+\sqrt{3}.

$$6+3\sqrt{3}+2\left(\sqrt{3}-1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \sqrt{3}-1.

$$6+3\sqrt{3}+2\sqrt{3}-2$$

Combiner 3\sqrt{3} et 2\sqrt{3} pour obtenir 5\sqrt{3}.

$$6+5\sqrt{3}-2$$

Soustraire 2 de 6 pour obtenir 4.

$$4+5\sqrt{3}$$