Résoudre frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}-frac{2-sqrt{3}}{2+sqrt{3}}

$$\frac{ 2+ \sqrt{ 3 } }{ 2- \sqrt{ 3 } } - \frac{ 2- \sqrt{ 3 } }{ 2+ \sqrt{ 3 } }$$

Évaluer

$$8\sqrt{3}\approx 13,856406461$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Considérer \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Calculer le carré de 2. Calculer le carré de \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Soustraire 3 de 4 pour obtenir 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Tout nombre divisé par 1 donne lui-même.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Multiplier 2+\sqrt{3} et 2+\sqrt{3} pour obtenir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2-\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}$$

Considérer \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer le carré de 2. Calculer le carré de \sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}$$

Soustraire 3 de 4 pour obtenir 1.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\frac{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}$$

Tout nombre divisé par 1 donne lui-même.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)$$

Multiplier 2-\sqrt{3} et 2-\sqrt{3} pour obtenir \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4+4\sqrt{3}+3-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Additionner 4 et 3 pour obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(2-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$7+4\sqrt{3}-\left(4-4\sqrt{3}+3\right)$$

Additionner 4 et 3 pour obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}-\left(7-4\sqrt{3}\right)$$

Pour trouver l’opposé de 7-4\sqrt{3}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$7+4\sqrt{3}-7-\left(-4\sqrt{3}\right)$$

L’inverse de -4\sqrt{3} est 4\sqrt{3}.

$$7+4\sqrt{3}-7+4\sqrt{3}$$

Soustraire 7 de 7 pour obtenir 0.

$$4\sqrt{3}+4\sqrt{3}$$

Combiner 4\sqrt{3} et 4\sqrt{3} pour obtenir 8\sqrt{3}.

$$8\sqrt{3}$$