Résoudre 2x^3-12x^2+12/left(x-4right)^2=3

$$\frac{ 2 { x }^{ 3 } -12 { x }^{ 2 } +12 }{ { \left(x-4 \right) }^{ 2 } } =3$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+3}{4}\approx 0,75-1,5612495i$$

$$x=6$$

$$x=\frac{3+\sqrt{39}i}{4}\approx 0,75+1,5612495i$$

Étapes de la solution

La variable x ne peut pas être égale à 4 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(x-4\right)^{2}.

$$2x^{3}-12x^{2}+12=3\left(x-4\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-4\right)^{2}.

$$2x^{3}-12x^{2}+12=3\left(x^{2}-8x+16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par x^{2}-8x+16.

$$2x^{3}-12x^{2}+12=3x^{2}-24x+48$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$2x^{3}-12x^{2}+12-3x^{2}=-24x+48$$

Combiner -12x^{2} et -3x^{2} pour obtenir -15x^{2}.

$$2x^{3}-15x^{2}+12=-24x+48$$

Ajouter 24x aux deux côtés.

$$2x^{3}-15x^{2}+12+24x=48$$

Soustraire 48 des deux côtés.

$$2x^{3}-15x^{2}+12+24x-48=0$$

Soustraire 48 de 12 pour obtenir -36.

$$2x^{3}-15x^{2}-36+24x=0$$

Réorganiser l’équation pour utiliser le format standard. Ordonner les termes de la puissance la plus élevée à celle la plus faible.

$$2x^{3}-15x^{2}+24x-36=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -36 et q divise le 2 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±18,±36,±9,±6,±12,±\frac{9}{2},±3,±2,±4,±\frac{3}{2},±1,±\frac{1}{2}$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=6$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 2x^{3}-15x^{2}+24x-36 par x-6 pour obtenir 2x^{2}-3x+6. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$2x^{2}-3x+6=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, -3 pour b et 6 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 6}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{3±\sqrt{-39}}{4}$$

Résoudre l’équation 2x^{2}-3x+6=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=\frac{-\sqrt{39}i+3}{4} x=\frac{3+\sqrt{39}i}{4}$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$x=6 x=\frac{-\sqrt{39}i+3}{4} x=\frac{3+\sqrt{39}i}{4}$$

Calculer x

$$x=6$$

Étapes de la solution

La variable x ne peut pas être égale à 4 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(x-4\right)^{2}.

$$2x^{3}-12x^{2}+12=3\left(x-4\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(x-4\right)^{2}.

$$2x^{3}-12x^{2}+12=3\left(x^{2}-8x+16\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par x^{2}-8x+16.

$$2x^{3}-12x^{2}+12=3x^{2}-24x+48$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$2x^{3}-12x^{2}+12-3x^{2}=-24x+48$$

Combiner -12x^{2} et -3x^{2} pour obtenir -15x^{2}.

$$2x^{3}-15x^{2}+12=-24x+48$$

Ajouter 24x aux deux côtés.

$$2x^{3}-15x^{2}+12+24x=48$$

Soustraire 48 des deux côtés.

$$2x^{3}-15x^{2}+12+24x-48=0$$

Soustraire 48 de 12 pour obtenir -36.

$$2x^{3}-15x^{2}-36+24x=0$$

Réorganiser l’équation pour utiliser le format standard. Ordonner les termes de la puissance la plus élevée à celle la plus faible.

$$2x^{3}-15x^{2}+24x-36=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -36 et q divise le 2 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±18,±36,±9,±6,±12,±\frac{9}{2},±3,±2,±4,±\frac{3}{2},±1,±\frac{1}{2}$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=6$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser 2x^{3}-15x^{2}+24x-36 par x-6 pour obtenir 2x^{2}-3x+6. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$2x^{2}-3x+6=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 2 pour a, -3 pour b et 6 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\times 6}}{2\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{3±\sqrt{-39}}{4}$$

Comme la racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans le champ réel, il n’existe aucune solution.

$$x\in \emptyset$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$x=6$$