Résoudre 2/x-3+3/x-2=3

$$\frac{ 2 }{ x-3 } + \frac{ 3 }{ x-2 } =3$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 10}{3} \approx 4,215250437$$

$$x = \frac{10 - \sqrt{7}}{3} \approx 2,45141623$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 2,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x-2\right), le plus petit commun multiple de x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combiner 2x et 3x pour obtenir 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Soustraire 9 de -4 pour obtenir -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 3x-9 par x-2 et combiner les termes semblables.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Ajouter 15x aux deux côtés.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combiner 5x et 15x pour obtenir 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Soustraire 18 des deux côtés.

$$20x-13-3x^{2}-18=0$$

Soustraire 18 de -13 pour obtenir -31.

$$20x-31-3x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3x^{2}+20x-31=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, 20 à b et -31 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de 20.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-3\right)\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+12\left(-31\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par -31.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-372}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 400 et -372.

$$x=\frac{-20±\sqrt{28}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 28.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} lorsque ± est positif. Additionner -20 et 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Diviser -20+2\sqrt{7} par -6.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-20±2\sqrt{7}}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 2\sqrt{7} à -20.

$$x=\frac{-2\sqrt{7}-20}{-6}$$

Diviser -20-2\sqrt{7} par -6.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{10-\sqrt{7}}{3} x=\frac{\sqrt{7}+10}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 2,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x-2\right), le plus petit commun multiple de x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 2+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par 2.

$$2x-4+\left(x-3\right)\times 3=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par 3.

$$2x-4+3x-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combiner 2x et 3x pour obtenir 5x.

$$5x-4-9=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Soustraire 9 de -4 pour obtenir -13.

$$5x-13=3\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par x-3.

$$5x-13=\left(3x-9\right)\left(x-2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 3x-9 par x-2 et combiner les termes semblables.

$$5x-13=3x^{2}-15x+18$$

Soustraire 3x^{2} des deux côtés.

$$5x-13-3x^{2}=-15x+18$$

Ajouter 15x aux deux côtés.

$$5x-13-3x^{2}+15x=18$$

Combiner 5x et 15x pour obtenir 20x.

$$20x-13-3x^{2}=18$$

Ajouter 13 aux deux côtés.

$$20x-3x^{2}=18+13$$

Additionner 18 et 13 pour obtenir 31.

$$20x-3x^{2}=31$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+20x=31$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$\frac{-3x^{2}+20x}{-3}=\frac{31}{-3}$$

La division par -3 annule la multiplication par -3.

$$x^{2}+\frac{20}{-3}x=\frac{31}{-3}$$

Diviser 20 par -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=\frac{31}{-3}$$

Diviser 31 par -3.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x=-\frac{31}{3}$$

Divisez -\frac{20}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{10}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{10}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}=-\frac{31}{3}+\left(-\frac{10}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{10}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=-\frac{31}{3}+\frac{100}{9}$$

Additionner -\frac{31}{3} et \frac{100}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}=\frac{7}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{20}{3}x+\frac{100}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{10}{3}=\frac{\sqrt{7}}{3} x-\frac{10}{3}=-\frac{\sqrt{7}}{3}$$

Ajouter \frac{10}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{7}+10}{3} x=\frac{10-\sqrt{7}}{3}$$