Résoudre 1/6left(4x+5right)-2/3left(2x+7right)=3/2

$$\frac{ 1 }{ 6 } \left( 4x+5 \right) \frac{ -2 }{ 3 } \left( 2x+7 \right) = \frac{ 3 }{ 2 }$$

Calculer x (solution complexe)

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}\approx -2,375+0,649519053i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}\approx -2,375-0,649519053i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La fraction \frac{-2}{3} peut être réécrite comme -\frac{2}{3} en extrayant le signe négatif.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Multiplier \frac{1}{6} et -\frac{2}{3} pour obtenir -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -\frac{1}{9} par 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} par 2x+7 et combiner les termes semblables.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Soustraire \frac{3}{2} des deux côtés.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}-\frac{3}{2}=0$$

Soustraire \frac{3}{2} de -\frac{35}{9} pour obtenir -\frac{97}{18}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{97}{18}=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -\frac{8}{9} à a, -\frac{38}{9} à b et -\frac{97}{18} à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\left(-\frac{38}{9}\right)^{2}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Calculer le carré de -\frac{38}{9} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}-4\left(-\frac{8}{9}\right)\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplier -4 par -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444}{81}+\frac{32}{9}\left(-\frac{97}{18}\right)}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplier \frac{32}{9} par -\frac{97}{18} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{\frac{1444-1552}{81}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Additionner \frac{1444}{81} et -\frac{1552}{81} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\sqrt{-\frac{4}{3}}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Extraire la racine carrée de -\frac{4}{3}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{38}{9}\right)±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

L’inverse de -\frac{38}{9} est \frac{38}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{2\left(-\frac{8}{9}\right)}$$

Multiplier 2 par -\frac{8}{9}.

$$x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}} lorsque ± est positif. Additionner \frac{38}{9} et \frac{2i\sqrt{3}}{3}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Diviser \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} par -\frac{16}{9} en multipliant \frac{38}{9}+\frac{2i\sqrt{3}}{3} par la réciproque de -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\frac{38}{9}±\frac{2\sqrt{3}i}{3}}{-\frac{16}{9}} lorsque ± est négatif. Soustraire \frac{2i\sqrt{3}}{3} à \frac{38}{9}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{3}i}{3}+\frac{38}{9}}{-\frac{16}{9}}$$

Diviser \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} par -\frac{16}{9} en multipliant \frac{38}{9}-\frac{2i\sqrt{3}}{3} par la réciproque de -\frac{16}{9}.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8} x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8}$$

Étapes de l’élévation au carré

La fraction \frac{-2}{3} peut être réécrite comme -\frac{2}{3} en extrayant le signe négatif.

$$\frac{1}{6}\left(4x+5\right)\left(-\frac{2}{3}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Multiplier \frac{1}{6} et -\frac{2}{3} pour obtenir -\frac{1}{9}.

$$-\frac{1}{9}\left(4x+5\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -\frac{1}{9} par 4x+5.

$$\left(-\frac{4}{9}x-\frac{5}{9}\right)\left(2x+7\right)=\frac{3}{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier -\frac{4}{9}x-\frac{5}{9} par 2x+7 et combiner les termes semblables.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x-\frac{35}{9}=\frac{3}{2}$$

Ajouter \frac{35}{9} aux deux côtés.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{3}{2}+\frac{35}{9}$$

Additionner \frac{3}{2} et \frac{35}{9} pour obtenir \frac{97}{18}.

$$-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x=\frac{97}{18}$$

Diviser les deux côtés de l’équation par -\frac{8}{9}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$\frac{-\frac{8}{9}x^{2}-\frac{38}{9}x}{-\frac{8}{9}}=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

La division par -\frac{8}{9} annule la multiplication par -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{38}{9}}{-\frac{8}{9}}\right)x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Diviser -\frac{38}{9} par -\frac{8}{9} en multipliant -\frac{38}{9} par la réciproque de -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=\frac{\frac{97}{18}}{-\frac{8}{9}}$$

Diviser \frac{97}{18} par -\frac{8}{9} en multipliant \frac{97}{18} par la réciproque de -\frac{8}{9}.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x=-\frac{97}{16}$$

Divisez \frac{19}{4}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{19}{8}. Ajouter ensuite le carré de \frac{19}{8} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{97}{16}+\left(\frac{19}{8}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{19}{8} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{97}{16}+\frac{361}{64}$$

Additionner -\frac{97}{16} et \frac{361}{64} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}=-\frac{27}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{19}{4}x+\frac{361}{64}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}=-\frac{27}{64}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{19}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{64}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{19}{8}=\frac{3\sqrt{3}i}{8} x+\frac{19}{8}=-\frac{3\sqrt{3}i}{8}$$

Soustraire \frac{19}{8} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{-19+3\sqrt{3}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{3}i-19}{8}$$