Résoudre 1/2*pi*sqrt{2*10^-3*90*10^-9}*sqrt{frac{2*10^-3/90*10^-9-{20}^2}{frac{2*{10}^-3}{90*{10}^-9}}}

$$\frac{ 1 }{ 2 \times \pi \times \sqrt{ 2 \times { 10 }^{ -3 } \times 90 \times { 10 }^{ -9 } } } \times \sqrt{ \frac{ \frac{ 2 \times { 10 }^{ -3 } }{ 90 \times { 10 }^{ -9 } } - { 20 }^{ 2 } }{ \frac{ 2 \times { 10 }^{ -3 } }{ 90 \times { 10 }^{ -9 } } } }$$

Évaluer

$$\frac{5000\sqrt{491}}{3\pi }\approx 11755,4598625$$

Étapes de la solution

Pour multiplier les puissances de la même base, additionnez leurs exposants. Additionnez -3 et -9 pour obtenir -12.

$$\frac{1}{2\pi \sqrt{2\times 10^{-12}\times 90}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Calculer 10 à la puissance -12 et obtenir \frac{1}{1000000000000}.

$$\frac{1}{2\pi \sqrt{2\times \frac{1}{1000000000000}\times 90}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Multiplier 2 et \frac{1}{1000000000000} pour obtenir \frac{1}{500000000000}.

$$\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{1}{500000000000}\times 90}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Multiplier \frac{1}{500000000000} et 90 pour obtenir \frac{9}{50000000000}.

$$\frac{1}{2\pi \sqrt{\frac{9}{50000000000}}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Réécrivez la racine carrée de la Division \sqrt{\frac{9}{50000000000}} comme Division des racines carrées \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{50000000000}}.

$$\frac{1}{2\pi \times \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{50000000000}}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Calculer la racine carrée de 9 et obtenir 3.

$$\frac{1}{2\pi \times \frac{3}{\sqrt{50000000000}}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Factoriser 50000000000=100000^{2}\times 5. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{100000^{2}\times 5} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{100000^{2}}\sqrt{5}. Extraire la racine carrée de 100000^{2}.

$$\frac{1}{2\pi \times \frac{3}{100000\sqrt{5}}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{3}{100000\sqrt{5}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{5}.

$$\frac{1}{2\pi \times \frac{3\sqrt{5}}{100000\left(\sqrt{5}\right)^{2}}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{1}{2\pi \times \frac{3\sqrt{5}}{100000\times 5}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Multiplier 100000 et 5 pour obtenir 500000.

$$\frac{1}{2\pi \times \frac{3\sqrt{5}}{500000}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Annulez le facteur commun le plus grand 500000 dans 2 et 500000.

$$\frac{1}{\frac{3\sqrt{5}}{250000}\pi }\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Exprimer \frac{3\sqrt{5}}{250000}\pi sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{1}{\frac{3\sqrt{5}\pi }{250000}}\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Diviser 1 par \frac{3\sqrt{5}\pi }{250000} en multipliant 1 par la réciproque de \frac{3\sqrt{5}\pi }{250000}.

$$\frac{250000}{3\sqrt{5}\pi }\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{250000}{3\sqrt{5}\pi } en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{5}.

$$\frac{250000\sqrt{5}}{3\left(\sqrt{5}\right)^{2}\pi }\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{250000\sqrt{5}}{3\times 5\pi }\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Annuler 5 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Annuler 2 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{10^{-3}}{45\times 10^{-9}}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Pour diviser les puissances de la même base, soustrayez l’exposant du dénominateur de l’exposant du numérateur.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{10^{6}}{45}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Calculer 10 à la puissance 6 et obtenir 1000000.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{1000000}{45}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Réduire la fraction \frac{1000000}{45} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{200000}{9}-20^{2}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Calculer 20 à la puissance 2 et obtenir 400.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{200000}{9}-400}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Soustraire 400 de \frac{200000}{9} pour obtenir \frac{196400}{9}.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{196400}{9}}{\frac{2\times 10^{-3}}{90\times 10^{-9}}}}$$

Annuler 2 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{196400}{9}}{\frac{10^{-3}}{45\times 10^{-9}}}}$$

Pour diviser les puissances de la même base, soustrayez l’exposant du dénominateur de l’exposant du numérateur.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{196400}{9}}{\frac{10^{6}}{45}}}$$

Calculer 10 à la puissance 6 et obtenir 1000000.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{196400}{9}}{\frac{1000000}{45}}}$$

Réduire la fraction \frac{1000000}{45} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{\frac{196400}{9}}{\frac{200000}{9}}}$$

Diviser \frac{196400}{9} par \frac{200000}{9} en multipliant \frac{196400}{9} par la réciproque de \frac{200000}{9}.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{196400}{9}\times \frac{9}{200000}}$$

Multiplier \frac{196400}{9} et \frac{9}{200000} pour obtenir \frac{491}{500}.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\sqrt{\frac{491}{500}}$$

Réécrivez la racine carrée de la Division \sqrt{\frac{491}{500}} comme Division des racines carrées \frac{\sqrt{491}}{\sqrt{500}}.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\times \frac{\sqrt{491}}{\sqrt{500}}$$

Factoriser 500=10^{2}\times 5. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{10^{2}\times 5} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{10^{2}}\sqrt{5}. Extraire la racine carrée de 10^{2}.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\times \frac{\sqrt{491}}{10\sqrt{5}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{\sqrt{491}}{10\sqrt{5}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{5}.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\times \frac{\sqrt{491}\sqrt{5}}{10\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\times \frac{\sqrt{491}\sqrt{5}}{10\times 5}$$

Pour multiplier \sqrt{491} et \sqrt{5}, multipliez les nombres sous la racine carrée.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\times \frac{\sqrt{2455}}{10\times 5}$$

Multiplier 10 et 5 pour obtenir 50.

$$\frac{50000\sqrt{5}}{3\pi }\times \frac{\sqrt{2455}}{50}$$

Multiplier \frac{50000\sqrt{5}}{3\pi } par \frac{\sqrt{2455}}{50} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.

$$\frac{50000\sqrt{5}\sqrt{2455}}{3\pi \times 50}$$

Annuler 50 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{1000\sqrt{5}\sqrt{2455}}{3\pi }$$

Factoriser 2455=5\times 491. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{5\times 491} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{5}\sqrt{491}.

$$\frac{1000\sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{491}}{3\pi }$$

Multiplier \sqrt{5} et \sqrt{5} pour obtenir 5.

$$\frac{1000\times 5\sqrt{491}}{3\pi }$$

Multiplier 1000 et 5 pour obtenir 5000.

$$\frac{5000\sqrt{491}}{3\pi }$$