Résoudre frac{{left(sqrt{3}+1+sqrt{3}-1right)}^2}{{left(sqrt{3}+1right)}^2-{left(sqrt{3}-1right)}^2}

$$\frac{ { \left( \sqrt{ 3 } +1+ \sqrt{ 3 } -1 \right) }^{ 2 } }{ { \left( \sqrt{ 3 } +1 \right) }^{ 2 } - { \left( \sqrt{ 3 } -1 \right) }^{ 2 } }$$

Évaluer

$$\sqrt{3}\approx 1,732050808$$

Étapes de la solution

Combiner \sqrt{3} et \sqrt{3} pour obtenir 2\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1-1\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Soustraire 1 de 1 pour obtenir 0.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Étendre \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{4\times 3}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Multiplier 4 et 3 pour obtenir 12.

$$\frac{12}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\frac{12}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{12}{3+2\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1\right)}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)}$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(4-2\sqrt{3}\right)}$$

Pour trouver l’opposé de 4-2\sqrt{3}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}}$$

Soustraire 4 de 4 pour obtenir 0.

$$\frac{12}{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$$

Combiner 2\sqrt{3} et 2\sqrt{3} pour obtenir 4\sqrt{3}.

$$\frac{12}{4\sqrt{3}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{12}{4\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}.

$$\frac{12\sqrt{3}}{4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{12\sqrt{3}}{4\times 3}$$

Annuler 3\times 4 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\sqrt{3}$$

Développer

$$\sqrt{3} = 1,732050808$$

Étapes de la solution

Combiner \sqrt{3} et \sqrt{3} pour obtenir 2\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+1-1\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Soustraire 1 de 1 pour obtenir 0.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Étendre \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{4\times 3}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Multiplier 4 et 3 pour obtenir 12.

$$\frac{12}{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\frac{12}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{12}{3+2\sqrt{3}+1-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1\right)}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(3-2\sqrt{3}+1\right)}$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-\left(4-2\sqrt{3}\right)}$$

Pour trouver l’opposé de 4-2\sqrt{3}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{12}{4+2\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}}$$

Soustraire 4 de 4 pour obtenir 0.

$$\frac{12}{2\sqrt{3}+2\sqrt{3}}$$

Combiner 2\sqrt{3} et 2\sqrt{3} pour obtenir 4\sqrt{3}.

$$\frac{12}{4\sqrt{3}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{12}{4\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}.

$$\frac{12\sqrt{3}}{4\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{12\sqrt{3}}{4\times 3}$$

Annuler 3\times 4 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\sqrt{3}$$