Résoudre frac{sqrt{6}+sqrt{4}}{sqrt{6}-sqrt{4}}+frac{sqrt{6}-sqrt{4}}{sqrt{6}+sqrt{4}}

$$\frac{ \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 4 } }{ \sqrt{ 6 } - \sqrt{ 4 } } + \frac{ \sqrt{ 6 } - \sqrt{ 4 } }{ \sqrt{ 6 } + \sqrt{ 4 } }$$

Évaluer

$$10$$

Étapes de la solution

Calculer la racine carrée de 4 et obtenir 2.

$$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-\sqrt{4}}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Calculer la racine carrée de 4 et obtenir 2.

$$\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{6}+2.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Considérer \left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2^{2}}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Calculer le carré de \sqrt{6}. Calculer le carré de 2.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{6-4}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Soustraire 4 de 6 pour obtenir 2.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Multiplier \sqrt{6}+2 et \sqrt{6}+2 pour obtenir \left(\sqrt{6}+2\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+2\right)^{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{6}+2\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}\right)^{2}+4\sqrt{6}+4}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Le carré de \sqrt{6} est 6.

$$\frac{6+4\sqrt{6}+4}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Additionner 6 et 4 pour obtenir 10.

$$\frac{10+4\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Divisez chaque terme de 10+4\sqrt{6} par 2 pour obtenir 5+2\sqrt{6}.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{4}}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Calculer la racine carrée de 4 et obtenir 2.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+\sqrt{4}}$$

Calculer la racine carrée de 4 et obtenir 2.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{6}-2.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{\left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}$$

Considérer \left(\sqrt{6}+2\right)\left(\sqrt{6}-2\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-2^{2}}$$

Calculer le carré de \sqrt{6}. Calculer le carré de 2.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{6-4}$$

Soustraire 4 de 6 pour obtenir 2.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}-2\right)}{2}$$

Multiplier \sqrt{6}-2 et \sqrt{6}-2 pour obtenir \left(\sqrt{6}-2\right)^{2}.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}-2\right)^{2}}{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{6}-2\right)^{2}.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-4\sqrt{6}+4}{2}$$

Le carré de \sqrt{6} est 6.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{6-4\sqrt{6}+4}{2}$$

Additionner 6 et 4 pour obtenir 10.

$$5+2\sqrt{6}+\frac{10-4\sqrt{6}}{2}$$

Divisez chaque terme de 10-4\sqrt{6} par 2 pour obtenir 5-2\sqrt{6}.

$$5+2\sqrt{6}+5-2\sqrt{6}$$

Additionner 5 et 5 pour obtenir 10.

$$10+2\sqrt{6}-2\sqrt{6}$$

Combiner 2\sqrt{6} et -2\sqrt{6} pour obtenir 0.

$$10$$

Factoriser

$$2\times 5$$