Résoudre frac{sqrt{2}left(4-sqrt{2}right)}{2left(sqrt{2}+1right)}

$$\frac{ \sqrt{ 2 } \left( 4- \sqrt{ 2 } \right) }{ 2 \left( \sqrt{ 2 } +1 \right) }$$

Évaluer

$$5-3\sqrt{2}\approx 0,757359313$$

Étapes de la solution

Utiliser la distributivité pour multiplier \sqrt{2} par 4-\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \sqrt{2}+1.

$$\frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{4\sqrt{2}-2}{2\sqrt{2}+2} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}$$

Considérer \left(2\sqrt{2}+2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Étendre \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-2^{2}}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4\times 2-2^{2}}$$

Multiplier 4 et 2 pour obtenir 8.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-2^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{8-4}$$

Soustraire 4 de 8 pour obtenir 4.

$$\frac{\left(4\sqrt{2}-2\right)\left(2\sqrt{2}-2\right)}{4}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 4\sqrt{2}-2 par chaque terme de 2\sqrt{2}-2.

$$\frac{8\left(\sqrt{2}\right)^{2}-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$\frac{8\times 2-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Multiplier 8 et 2 pour obtenir 16.

$$\frac{16-8\sqrt{2}-4\sqrt{2}+4}{4}$$

Combiner -8\sqrt{2} et -4\sqrt{2} pour obtenir -12\sqrt{2}.

$$\frac{16-12\sqrt{2}+4}{4}$$

Additionner 16 et 4 pour obtenir 20.

$$\frac{20-12\sqrt{2}}{4}$$

Divisez chaque terme de 20-12\sqrt{2} par 4 pour obtenir 5-3\sqrt{2}.

$$5-3\sqrt{2}$$