Résoudre x/x+3=6/x-3-27-x^2/9-x^2

$$\frac { x } { x + 3 } = \frac { 6 } { x - 3 } - \frac { 27 - x ^ { 2 } } { 9 - x ^ { 2 } }$$

Calculer x

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+3 par 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Additionner 18 et 27 pour obtenir 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Soustraire 6x des deux côtés.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combiner -3x et -6x pour obtenir -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Soustraire 45 des deux côtés.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 2x^{2}+ax+bx-45. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-9 ab=2\left(-45\right)=-90$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -90.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -9.

$$a=-15 b=6$$

Réécrire 2x^{2}-9x-45 en tant qu’\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right).

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)$$

Factorisez x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$x\left(2x-15\right)+3\left(2x-15\right)$$

Factoriser le facteur commun 2x-15 en utilisant la distributivité.

$$\left(2x-15\right)\left(x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 2x-15=0 et x+3=0.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

La variable x ne peut pas être égale à -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+3 par 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Additionner 18 et 27 pour obtenir 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Soustraire 6x des deux côtés.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combiner -3x et -6x pour obtenir -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Soustraire 45 des deux côtés.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 2 à a, -9 à b et -45 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Calculer le carré de -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -4 par 2.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

Multiplier -8 par -45.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 2}$$

Additionner 81 et 360.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

Extraire la racine carrée de 441.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 2}$$

L’inverse de -9 est 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 2}$$

Multiplier 2 par 2.

$$x=\frac{9±21}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±21}{4} lorsque ± est positif. Additionner 9 et 21.

$$x=\frac{30}{4}$$

Réduire la fraction \frac{30}{4} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{15}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{9±21}{4} lorsque ± est négatif. Soustraire 21 à 9.

$$x=-\frac{12}{4}$$

Diviser -12 par 4.

$$x=-3$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

La variable x ne peut pas être égale à -3.

$$x=\frac{15}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-3 par x.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+3 par 6.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

Additionner 18 et 27 pour obtenir 45.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

Soustraire 6x des deux côtés.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

Combiner -3x et -6x pour obtenir -9x.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$x^{2}-9x+x^{2}=45$$

Combiner x^{2} et x^{2} pour obtenir 2x^{2}.

$$2x^{2}-9x=45$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{45}{2}$$

La division par 2 annule la multiplication par 2.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

Divisez -\frac{9}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{9}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{9}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

Additionner \frac{45}{2} et \frac{81}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

Ajouter \frac{9}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

La variable x ne peut pas être égale à -3.

$$x=\frac{15}{2}$$