Résoudre x/x+1+x+1/x=13/6

$$\frac { x } { x + 1 } + \frac { x + 1 } { x } = \frac { 13 } { 6 }$$

Calculer x

$$x=-3$$

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 6x\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 6x+6 par x+1 et combiner les termes semblables.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combiner 6x^{2} et 6x^{2} pour obtenir 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 13x par x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Soustraire 13x^{2} des deux côtés.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combiner 12x^{2} et -13x^{2} pour obtenir -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Soustraire 13x des deux côtés.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combiner 12x et -13x pour obtenir -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+6. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-1 ab=-6=-6$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -1.

$$a=2 b=-3$$

Réécrire -x^{2}-x+6 en tant qu’\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right).

$$\left(-x^{2}+2x\right)+\left(-3x+6\right)$$

Factorisez x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$x\left(-x+2\right)+3\left(-x+2\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+2\right)\left(x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+2=0 et x+3=0.

$$x=2 x=-3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 6x\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 6x+6 par x+1 et combiner les termes semblables.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combiner 6x^{2} et 6x^{2} pour obtenir 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 13x par x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Soustraire 13x^{2} des deux côtés.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combiner 12x^{2} et -13x^{2} pour obtenir -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Soustraire 13x des deux côtés.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combiner 12x et -13x pour obtenir -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -1 à b et 6 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1 et 24.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 25.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$x=\frac{1±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{1±5}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±5}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 1 et 5.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Diviser 6 par -2.

$$x=-3$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{1±5}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 5 à 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Diviser -4 par -2.

$$x=2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-3 x=2$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 6x\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x,6.

$$6xx+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$6x^{2}+\left(6x+6\right)\left(x+1\right)=13x\left(x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 6x+6 par x+1 et combiner les termes semblables.

$$6x^{2}+6x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Combiner 6x^{2} et 6x^{2} pour obtenir 12x^{2}.

$$12x^{2}+12x+6=13x\left(x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 13x par x+1.

$$12x^{2}+12x+6=13x^{2}+13x$$

Soustraire 13x^{2} des deux côtés.

$$12x^{2}+12x+6-13x^{2}=13x$$

Combiner 12x^{2} et -13x^{2} pour obtenir -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+6=13x$$

Soustraire 13x des deux côtés.

$$-x^{2}+12x+6-13x=0$$

Combiner 12x et -13x pour obtenir -x.

$$-x^{2}-x+6=0$$

Soustraire 6 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-x^{2}-x=-6$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}-x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{1}{-1}\right)x=-\frac{6}{-1}$$

Diviser -1 par -1.

$$x^{2}+x=-\frac{6}{-1}$$

Diviser -6 par -1.

$$x^{2}+x=6$$

Divisez 1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Additionner 6 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}+x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Soustraire \frac{1}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-3$$