Résoudre x/7+y/3=5;-x/14+3y=26

$$\frac { x } { 7 } + \frac { y } { 3 } = 5 ; - \frac { x } { 14 } + 3 y = 26$$

Calculer x, y

$$x=14$$

$$y=9$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 21, le plus petit commun multiple de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 14.

$$-x+42y=364$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Choisissez une des équations et résolvez-la x en isolant x à gauche du signe égal.

$$3x+7y=105$$

Soustraire 7y des deux côtés de l’équation.

$$3x=-7y+105$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-7y+105\right)$$

Multiplier \frac{1}{3} par -7y+105.

$$x=-\frac{7}{3}y+35$$

Substituer -\frac{7y}{3}+35 par x dans l’autre équation, -x+42y=364.

$$-\left(-\frac{7}{3}y+35\right)+42y=364$$

Multiplier -1 par -\frac{7y}{3}+35.

$$\frac{7}{3}y-35+42y=364$$

Additionner \frac{7y}{3} et 42y.

$$\frac{133}{3}y-35=364$$

Ajouter 35 aux deux côtés de l’équation.

$$\frac{133}{3}y=399$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{133}{3}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$y=9$$

Substituer 9 à y dans x=-\frac{7}{3}y+35. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-\frac{7}{3}\times 9+35$$

Multiplier -\frac{7}{3} par 9.

$$x=-21+35$$

Additionner 35 et -21.

$$x=14$$

Le système est désormais résolu.

$$x=14,y=9$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 21, le plus petit commun multiple de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 14.

$$-x+42y=364$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&7\\-1&42\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{3\times 42-7\left(-1\right)}&-\frac{7}{3\times 42-7\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{3\times 42-7\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 42-7\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}&-\frac{1}{19}\\\frac{1}{133}&\frac{3}{133}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}105\\364\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{19}\times 105-\frac{1}{19}\times 364\\\frac{1}{133}\times 105+\frac{3}{133}\times 364\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\9\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=14,y=9$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 21, le plus petit commun multiple de 7,3.

$$3x+7y=105$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 14.

$$-x+42y=364$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$3x+7y=105,-x+42y=364$$

Pour rendre 3x et -x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par -1 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 3.

$$-3x-7y=-105,3\left(-1\right)x+3\times 42y=3\times 364$$

Simplifier.

$$-3x-7y=-105,-3x+126y=1092$$

Soustraire -3x+126y=1092 de -3x-7y=-105 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$-3x+3x-7y-126y=-105-1092$$

Additionner -3x et 3x. Les termes -3x et3x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-7y-126y=-105-1092$$

Additionner -7y et -126y.

$$-133y=-105-1092$$

Additionner -105 et -1092.

$$-133y=-1197$$

Divisez les deux côtés par -133.

$$y=9$$

Substituer 9 à y dans -x+42y=364. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$-x+42\times 9=364$$

Multiplier 42 par 9.

$$-x+378=364$$

Soustraire 378 des deux côtés de l’équation.

$$-x=-14$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$x=14$$

Le système est désormais résolu.

$$x=14,y=9$$