Résoudre x/5=y/4;y/3=x/3-1

$$\frac { x } { 5 } = \frac { y } { 4 } ; \frac { y } { 3 } = \frac { x } { 3 } - 1$$

Calculer x, y

$$x=15$$

$$y=12$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 20, le plus petit commun multiple de 5,4.

$$4x=5y$$

Divisez les deux côtés par 4.

$$x=\frac{1}{4}\times 5y$$

Multiplier \frac{1}{4} par 5y.

$$x=\frac{5}{4}y$$

Substituer \frac{5y}{4} par x dans l’autre équation, -x+y=-3.

$$-\frac{5}{4}y+y=-3$$

Additionner -\frac{5y}{4} et y.

$$-\frac{1}{4}y=-3$$

Multipliez les deux côtés par -4.

$$y=12$$

Substituer 12 à y dans x=\frac{5}{4}y. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=\frac{5}{4}\times 12$$

Multiplier \frac{5}{4} par 12.

$$x=15$$

Le système est désormais résolu.

$$x=15,y=12$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 20, le plus petit commun multiple de 5,4.

$$4x=5y$$

Soustraire 5y des deux côtés.

$$4x-5y=0$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 3.

$$y=x-3$$

Soustraire x des deux côtés.

$$y-x=-3$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-5\\-1&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\left(-3\right)\\-4\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\12\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=15,y=12$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 20, le plus petit commun multiple de 5,4.

$$4x=5y$$

Soustraire 5y des deux côtés.

$$4x-5y=0$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 3.

$$y=x-3$$

Soustraire x des deux côtés.

$$y-x=-3$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$4x-5y=0,-x+y=-3$$

Pour rendre 4x et -x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par -1 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 4.

$$-4x-\left(-5y\right)=0,4\left(-1\right)x+4y=4\left(-3\right)$$

Simplifier.

$$-4x+5y=0,-4x+4y=-12$$

Soustraire -4x+4y=-12 de -4x+5y=0 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$-4x+4x+5y-4y=12$$

Additionner -4x et 4x. Les termes -4x et4x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$5y-4y=12$$

Additionner 5y et -4y.

$$y=12$$

Substituer 12 à y dans -x+y=-3. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$-x+12=-3$$

Soustraire 12 des deux côtés de l’équation.

$$-x=-15$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$x=15$$

Le système est désormais résolu.

$$x=15,y=12$$