Résoudre x/2x+1+2x+1/x-1=2

$$\frac { x } { 2 x + 1 } + \frac { 2 x + 1 } { x - 1 } = 2$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}\approx -0,697224362$$

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}\approx -4,302775638$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -\frac{1}{2},1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(2x+1\right), le plus petit commun multiple de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Multiplier 2x+1 et 2x+1 pour obtenir \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-1 par x.

$$x^{2}-x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-x+4x^{2}+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Combiner x^{2} et 4x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}-x+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Combiner -x et 4x pour obtenir 3x.

$$5x^{2}+3x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x-1.

$$5x^{2}+3x+1=\left(2x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 2x-2 par 2x+1 et combiner les termes semblables.

$$5x^{2}+3x+1=4x^{2}-2x-2$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$5x^{2}+3x+1-4x^{2}=-2x-2$$

Combiner 5x^{2} et -4x^{2} pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}+3x+1=-2x-2$$

Ajouter 2x aux deux côtés.

$$x^{2}+3x+1+2x=-2$$

Combiner 3x et 2x pour obtenir 5x.

$$x^{2}+5x+1=-2$$

Ajouter 2 aux deux côtés.

$$x^{2}+5x+1+2=0$$

Additionner 1 et 2 pour obtenir 3.

$$x^{2}+5x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, 5 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3}}{2}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3}}{2}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12}}{2}$$

Additionner 25 et -12.

$$x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2} lorsque ± est positif. Additionner -5 et \sqrt{13}.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±\sqrt{13}}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{13} à -5.

$$x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -\frac{1}{2},1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(2x+1\right), le plus petit commun multiple de 2x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Multiplier 2x+1 et 2x+1 pour obtenir \left(2x+1\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-1 par x.

$$x^{2}-x+\left(2x+1\right)^{2}=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2x+1\right)^{2}.

$$x^{2}-x+4x^{2}+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Combiner x^{2} et 4x^{2} pour obtenir 5x^{2}.

$$5x^{2}-x+4x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Combiner -x et 4x pour obtenir 3x.

$$5x^{2}+3x+1=2\left(x-1\right)\left(2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x-1.

$$5x^{2}+3x+1=\left(2x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 2x-2 par 2x+1 et combiner les termes semblables.

$$5x^{2}+3x+1=4x^{2}-2x-2$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$5x^{2}+3x+1-4x^{2}=-2x-2$$

Combiner 5x^{2} et -4x^{2} pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}+3x+1=-2x-2$$

Ajouter 2x aux deux côtés.

$$x^{2}+3x+1+2x=-2$$

Combiner 3x et 2x pour obtenir 5x.

$$x^{2}+5x+1=-2$$

Soustraire 1 des deux côtés.

$$x^{2}+5x=-2-1$$

Soustraire 1 de -2 pour obtenir -3.

$$x^{2}+5x=-3$$

Divisez 5, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=-3+\frac{25}{4}$$

Additionner -3 et \frac{25}{4}.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{13}{4}$$

Factor x^{2}+5x+\frac{25}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{13}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{13}}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{13}}{2}$$

Soustraire \frac{5}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{13}-5}{2} x=\frac{-\sqrt{13}-5}{2}$$