Résoudre x^2-2/x^2+x-2+3x+2/x^2-4=1-x+2/x^2-3x+2

$$\frac { x ^ { 2 } - 2 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 3 x + 2 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1 - \frac { x + 2 } { x ^ { 2 } - 3 x + 2 }$$

Calculer x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-1$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,1,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplier x+2 et x+2 pour obtenir \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-1 par 3x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combiner -2x^{2} et 3x^{2} pour obtenir x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combiner -2x et -x pour obtenir -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Soustraire 2 de 4 pour obtenir 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-2 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x^{2}-3x+2 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+4x+4, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combiner -x^{2} et -x^{2} pour obtenir -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combiner -4x et -4x pour obtenir -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Soustraire 4 de 4 pour obtenir 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Soustraire x^{3} des deux côtés.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combiner x^{3} et -x^{3} pour obtenir 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Ajouter 2x^{2} aux deux côtés.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combiner x^{2} et 2x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Ajouter 8x aux deux côtés.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combiner -3x et 8x pour obtenir 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que 3x^{2}+ax+bx+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=5 ab=3\times 2=6$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est positif, a et b sont positives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 6.

$$1,6 2,3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1+6=7 2+3=5$$

La solution est la paire qui donne la somme 5.

$$a=2 b=3$$

Réécrire 3x^{2}+5x+2 en tant qu’\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(3x+2\right)$$

Factoriser x dans 3x^{2}+2x.

$$x\left(3x+2\right)+3x+2$$

Factoriser le facteur commun 3x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(3x+2\right)\left(x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 3x+2=0 et x+1=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,1,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplier x+2 et x+2 pour obtenir \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-1 par 3x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combiner -2x^{2} et 3x^{2} pour obtenir x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combiner -2x et -x pour obtenir -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Soustraire 2 de 4 pour obtenir 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-2 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x^{2}-3x+2 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+4x+4, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combiner -x^{2} et -x^{2} pour obtenir -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combiner -4x et -4x pour obtenir -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Soustraire 4 de 4 pour obtenir 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Soustraire x^{3} des deux côtés.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combiner x^{3} et -x^{3} pour obtenir 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Ajouter 2x^{2} aux deux côtés.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combiner x^{2} et 2x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Ajouter 8x aux deux côtés.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combiner -3x et 8x pour obtenir 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$3x^{2}+5x+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 3 à a, 5 à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Calculer le carré de 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplier -4 par 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplier -12 par 2.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Additionner 25 et -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Extraire la racine carrée de 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\times 3}$$

Multiplier 2 par 3.

$$x=\frac{-5±1}{6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±1}{6} lorsque ± est positif. Additionner -5 et 1.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-5±1}{6} lorsque ± est négatif. Soustraire 1 à -5.

$$x=-\frac{6}{6}$$

Diviser -6 par 6.

$$x=-1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,1,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x^{2}+x-2,x^{2}-4,x^{2}-3x+2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)\left(x+2\right)$$

Multiplier x+2 et x+2 pour obtenir \left(x+2\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-2\right)+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par x^{2}-2.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+\left(x-1\right)\left(3x+2\right)=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-1 par 3x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-2x-2x^{2}+4+3x^{2}-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combiner -2x^{2} et 3x^{2} pour obtenir x^{2}.

$$x^{3}-2x+x^{2}+4-x-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Combiner -2x et -x pour obtenir -3x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+4-2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Soustraire 2 de 4 pour obtenir 2.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x-2\right)\left(x-1\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-2 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=\left(x^{2}-3x+2\right)\left(x+2\right)-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x^{2}-3x+2 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x+2\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-\left(x^{2}+4x+4\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+4x+4, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-x^{2}-4x+4-x^{2}-4x-4$$

Combiner -x^{2} et -x^{2} pour obtenir -2x^{2}.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-4x+4-4x-4$$

Combiner -4x et -4x pour obtenir -8x.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x+4-4$$

Soustraire 4 de 4 pour obtenir 0.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2=x^{3}-2x^{2}-8x$$

Soustraire x^{3} des deux côtés.

$$x^{3}-3x+x^{2}+2-x^{3}=-2x^{2}-8x$$

Combiner x^{3} et -x^{3} pour obtenir 0.

$$-3x+x^{2}+2=-2x^{2}-8x$$

Ajouter 2x^{2} aux deux côtés.

$$-3x+x^{2}+2+2x^{2}=-8x$$

Combiner x^{2} et 2x^{2} pour obtenir 3x^{2}.

$$-3x+3x^{2}+2=-8x$$

Ajouter 8x aux deux côtés.

$$-3x+3x^{2}+2+8x=0$$

Combiner -3x et 8x pour obtenir 5x.

$$5x+3x^{2}+2=0$$

Soustraire 2 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$5x+3x^{2}=-2$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=-2$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

La division par 3 annule la multiplication par 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divisez \frac{5}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{6}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{6} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{6} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Additionner -\frac{2}{3} et \frac{25}{36} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Soustraire \frac{5}{6} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{2}{3} x=-1$$