Résoudre x^2/9-4/3x=-2

$$\frac { x ^ { 2 } } { 9 } - \frac { 4 } { 3 } x = - 2$$

Calculer x

$$x=3\sqrt{2}+6\approx 10,242640687$$

$$x=6-3\sqrt{2}\approx 1,757359313$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Ajouter 2 aux deux côtés de l’équation.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=-2-\left(-2\right)$$

La soustraction de -2 de lui-même donne 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x-\left(-2\right)=0$$

Soustraire -2 à 0.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x+2=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez \frac{1}{9} à a, -\frac{4}{3} à b et 2 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Calculer le carré de -\frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-4\times \frac{1}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplier -4 par \frac{1}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16}{9}-\frac{4}{9}\times 2}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplier -\frac{4}{9} par 2.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{16-8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Additionner \frac{16}{9} et -\frac{8}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\sqrt{\frac{8}{9}}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Extraire la racine carrée de \frac{8}{9}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{4}{3}\right)±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

L’inverse de -\frac{4}{3} est \frac{4}{3}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\times \frac{1}{9}}$$

Multiplier 2 par \frac{1}{9}.

$$x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} lorsque ± est positif. Additionner \frac{4}{3} et \frac{2\sqrt{2}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+4}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Diviser \frac{4+2\sqrt{2}}{3} par \frac{2}{9} en multipliant \frac{4+2\sqrt{2}}{3} par la réciproque de \frac{2}{9}.

$$x=3\sqrt{2}+6$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{2}{9}} lorsque ± est négatif. Soustraire \frac{2\sqrt{2}}{3} à \frac{4}{3}.

$$x=\frac{4-2\sqrt{2}}{\frac{2}{9}\times 3}$$

Diviser \frac{4-2\sqrt{2}}{3} par \frac{2}{9} en multipliant \frac{4-2\sqrt{2}}{3} par la réciproque de \frac{2}{9}.

$$x=6-3\sqrt{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x=-2$$

Multipliez les deux côtés par 9.

$$\frac{\frac{1}{9}x^{2}-\frac{4}{3}x}{\frac{1}{9}}=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

La division par \frac{1}{9} annule la multiplication par \frac{1}{9}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{4}{3}}{\frac{1}{9}}\right)x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Diviser -\frac{4}{3} par \frac{1}{9} en multipliant -\frac{4}{3} par la réciproque de \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-\frac{2}{\frac{1}{9}}$$

Diviser -2 par \frac{1}{9} en multipliant -2 par la réciproque de \frac{1}{9}.

$$x^{2}-12x=-18$$

Divisez -12, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -6. Ajouter ensuite le carré de -6 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-18+\left(-6\right)^{2}$$

Calculer le carré de -6.

$$x^{2}-12x+36=-18+36$$

Additionner -18 et 36.

$$x^{2}-12x+36=18$$

Factor x^{2}-12x+36. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=18$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{18}$$

Simplifier.

$$x-6=3\sqrt{2} x-6=-3\sqrt{2}$$

Ajouter 6 aux deux côtés de l’équation.

$$x=3\sqrt{2}+6 x=6-3\sqrt{2}$$