Résoudre x^2+6x-7/3x^2-x-2=5

$$\frac { x ^ { 2 } + 6 x - 7 } { 3 x ^ { 2 } - x - 2 } = 5$$

Calculer x

$$x=-\frac{3}{14}\approx -0,214285714$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -\frac{2}{3},1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 5x-5 par 3x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Soustraire 15x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combiner x^{2} et -15x^{2} pour obtenir -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Ajouter 5x aux deux côtés.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combiner 6x et 5x pour obtenir 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Ajouter 10 aux deux côtés.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Additionner -7 et 10 pour obtenir 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -14x^{2}+ax+bx+3. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=11 ab=-14\times 3=-42$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 11.

$$a=14 b=-3$$

Réécrire -14x^{2}+11x+3 en tant qu’\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-14x^{2}+14x\right)+\left(-3x+3\right)$$

Factorisez 14x du premier et 3 dans le deuxième groupe.

$$14x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+1\right)\left(14x+3\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+1=0 et 14x+3=0.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

La variable x ne peut pas être égale à 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -\frac{2}{3},1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 5x-5 par 3x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Soustraire 15x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combiner x^{2} et -15x^{2} pour obtenir -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Ajouter 5x aux deux côtés.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combiner 6x et 5x pour obtenir 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Ajouter 10 aux deux côtés.

$$-14x^{2}+11x-7+10=0$$

Additionner -7 et 10 pour obtenir 3.

$$-14x^{2}+11x+3=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -14 à a, 11 à b et 3 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Calculer le carré de 11.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-14\right)\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier -4 par -14.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+56\times 3}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier 56 par 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+168}}{2\left(-14\right)}$$

Additionner 121 et 168.

$$x=\frac{-11±\sqrt{289}}{2\left(-14\right)}$$

Extraire la racine carrée de 289.

$$x=\frac{-11±17}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier 2 par -14.

$$x=\frac{-11±17}{-28}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±17}{-28} lorsque ± est positif. Additionner -11 et 17.

$$x=\frac{6}{-28}$$

Réduire la fraction \frac{6}{-28} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-11±17}{-28} lorsque ± est négatif. Soustraire 17 à -11.

$$x=-\frac{28}{-28}$$

Diviser -28 par -28.

$$x=1$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{3}{14} x=1$$

La variable x ne peut pas être égale à 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -\frac{2}{3},1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multiplier les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(3x+2\right).

$$x^{2}+6x-7=5\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par x-1.

$$x^{2}+6x-7=\left(5x-5\right)\left(3x+2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 5x-5 par 3x+2 et combiner les termes semblables.

$$x^{2}+6x-7=15x^{2}-5x-10$$

Soustraire 15x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}+6x-7-15x^{2}=-5x-10$$

Combiner x^{2} et -15x^{2} pour obtenir -14x^{2}.

$$-14x^{2}+6x-7=-5x-10$$

Ajouter 5x aux deux côtés.

$$-14x^{2}+6x-7+5x=-10$$

Combiner 6x et 5x pour obtenir 11x.

$$-14x^{2}+11x-7=-10$$

Ajouter 7 aux deux côtés.

$$-14x^{2}+11x=-10+7$$

Additionner -10 et 7 pour obtenir -3.

$$-14x^{2}+11x=-3$$

Divisez les deux côtés par -14.

$$\frac{-14x^{2}+11x}{-14}=-\frac{3}{-14}$$

La division par -14 annule la multiplication par -14.

$$x^{2}+\frac{11}{-14}x=-\frac{3}{-14}$$

Diviser 11 par -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=-\frac{3}{-14}$$

Diviser -3 par -14.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x=\frac{3}{14}$$

Divisez -\frac{11}{14}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{28}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{28} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{3}{14}+\left(-\frac{11}{28}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{28} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{3}{14}+\frac{121}{784}$$

Additionner \frac{3}{14} et \frac{121}{784} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}=\frac{289}{784}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{14}x+\frac{121}{784}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}=\frac{289}{784}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{784}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{11}{28}=\frac{17}{28} x-\frac{11}{28}=-\frac{17}{28}$$

Ajouter \frac{11}{28} aux deux côtés de l’équation.

$$x=1 x=-\frac{3}{14}$$

La variable x ne peut pas être égale à 1.

$$x=-\frac{3}{14}$$