Résoudre frac{isqrt{2}-5}{i+sqrt{2}}

$$\frac { i \sqrt { 2 } - 5 } { i + \sqrt { 2 } }$$

Évaluer

$$-\frac{4\sqrt{2}}{3}+\frac{7}{3}i\approx -1,885618083+2,333333333i$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{i\sqrt{2}-5}{i+\sqrt{2}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par i-\sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{\left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}$$

Considérer \left(i+\sqrt{2}\right)\left(i-\sqrt{2}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{i^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Calculer le carré de i. Calculer le carré de \sqrt{2}.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-1-2}$$

Soustraire 2 de -1 pour obtenir -3.

$$\frac{\left(i\sqrt{2}-5\right)\left(i-\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de i\sqrt{2}-5 par chaque terme de i-\sqrt{2}.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\left(\sqrt{2}\right)^{2}-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Le carré de \sqrt{2} est 2.

$$\frac{-\sqrt{2}-i\times 2-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Multiplier -i et 2 pour obtenir -2i.

$$\frac{-\sqrt{2}-2i-5i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Soustraire 5i de -2i pour obtenir -7i.

$$\frac{-\sqrt{2}-7i+5\sqrt{2}}{-3}$$

Combiner -\sqrt{2} et 5\sqrt{2} pour obtenir 4\sqrt{2}.

$$\frac{4\sqrt{2}-7i}{-3}$$

Multipliez le numérateur et le dénominateur par -1.

$$\frac{-4\sqrt{2}+7i}{3}$$

Partie réelle

$$-\frac{4 \sqrt{2}}{3} = -1,885618083164127$$