Résoudre f/11=g/33text{siendo}f+g=40

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } \text { siendo } f + g = 40$$

Calculer f, g

$$f=10$$

$$g=30$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 33, le plus petit commun multiple de 11,33.

$$3f=g$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$f=\frac{1}{3}g$$

Substituer \frac{g}{3} par f dans l’autre équation, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

Additionner \frac{g}{3} et g.

$$\frac{4}{3}g=40$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{4}{3}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$g=30$$

Substituer 30 à g dans f=\frac{1}{3}g. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer f directement.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

Multiplier \frac{1}{3} par 30.

$$f=10$$

Le système est désormais résolu.

$$f=10,g=30$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 33, le plus petit commun multiple de 11,33.

$$3f=g$$

Soustraire g des deux côtés.

$$3f-g=0$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice f et g.

$$f=10,g=30$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Multipliez les deux côtés de l’équation par 33, le plus petit commun multiple de 11,33.

$$3f=g$$

Soustraire g des deux côtés.

$$3f-g=0$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$3f-g=0,f+g=40$$

Pour rendre 3f et f égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 1 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 3.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

Simplifier.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

Soustraire 3f+3g=120 de 3f-g=0 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

Additionner 3f et -3f. Les termes 3f et-3f s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$-g-3g=-120$$

Additionner -g et -3g.

$$-4g=-120$$

Divisez les deux côtés par -4.

$$g=30$$

Substituer 30 à g dans f+g=40. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer f directement.

$$f+30=40$$

Soustraire 30 des deux côtés de l’équation.

$$f=10$$

Le système est désormais résolu.

$$f=10,g=30$$