Résoudre a+1/a^2-a-a-1/a^2+a-1/a^2-1

$$\frac { a + 1 } { a ^ { 2 } - a } - \frac { a - 1 } { a ^ { 2 } + a } - \frac { 1 } { a ^ { 2 } - 1 }$$

Évaluer

$$\frac{3}{a^{2}-1}$$

Résumé des étapes de la solution

Factoriser a^{2}-a. Factoriser a^{2}+a.

$$\frac{a+1}{a\left(a-1\right)}-\frac{a-1}{a\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de a\left(a-1\right) et a\left(a+1\right) est a\left(a-1\right)\left(a+1\right). Multiplier \frac{a+1}{a\left(a-1\right)} par \frac{a+1}{a+1}. Multiplier \frac{a-1}{a\left(a+1\right)} par \frac{a-1}{a-1}.

$$\frac{\left(a+1\right)\left(a+1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{\left(a-1\right)\left(a-1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Étant donné que \frac{\left(a+1\right)\left(a+1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)} et \frac{\left(a-1\right)\left(a-1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{\left(a+1\right)\left(a+1\right)-\left(a-1\right)\left(a-1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Effectuez les multiplications dans \left(a+1\right)\left(a+1\right)-\left(a-1\right)\left(a-1\right).

$$\frac{a^{2}+a+a+1-a^{2}+a+a-1}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Combiner des termes semblables dans a^{2}+a+a+1-a^{2}+a+a-1.

$$\frac{4a}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Annuler a dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{4}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Factoriser a^{2}-1.

$$\frac{4}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}$$

Étant donné que \frac{4}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} et \frac{1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur. Soustraire 1 de 4 pour obtenir 3.

$$\frac{3}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}$$

Étendre \left(a-1\right)\left(a+1\right).

$$\frac{3}{a^{2}-1}$$

Développer

$$\frac{3}{a^{2}-1}$$

Résumé des étapes de la solution

Factoriser a^{2}-a. Factoriser a^{2}+a.

$$\frac{a+1}{a\left(a-1\right)}-\frac{a-1}{a\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de a\left(a-1\right) et a\left(a+1\right) est a\left(a-1\right)\left(a+1\right). Multiplier \frac{a+1}{a\left(a-1\right)} par \frac{a+1}{a+1}. Multiplier \frac{a-1}{a\left(a+1\right)} par \frac{a-1}{a-1}.

$$\frac{\left(a+1\right)\left(a+1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{\left(a-1\right)\left(a-1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Étant donné que \frac{\left(a+1\right)\left(a+1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)} et \frac{\left(a-1\right)\left(a-1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{\left(a+1\right)\left(a+1\right)-\left(a-1\right)\left(a-1\right)}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Effectuez les multiplications dans \left(a+1\right)\left(a+1\right)-\left(a-1\right)\left(a-1\right).

$$\frac{a^{2}+a+a+1-a^{2}+a+a-1}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Combiner des termes semblables dans a^{2}+a+a+1-a^{2}+a+a-1.

$$\frac{4a}{a\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Annuler a dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{4}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{a^{2}-1}$$

Factoriser a^{2}-1.

$$\frac{4}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}-\frac{1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}$$

Étant donné que \frac{4}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} et \frac{1}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur. Soustraire 1 de 4 pour obtenir 3.

$$\frac{3}{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}$$

Étendre \left(a-1\right)\left(a+1\right).

$$\frac{3}{a^{2}-1}$$