Résoudre 9x/x+1-9/x^2+x=50

$$\frac { 9 x } { x + 1 } - \frac { 9 } { x ^ { 2 } + x } = 50$$

Calculer x

$$x=-\frac{9}{41}\approx -0,219512195$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x^{2}+x.

$$x\times 9x-9=50x\left(x+1\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}\times 9-9=50x\left(x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 50x par x+1.

$$x^{2}\times 9-9=50x^{2}+50x$$

Soustraire 50x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}\times 9-9-50x^{2}=50x$$

Combiner x^{2}\times 9 et -50x^{2} pour obtenir -41x^{2}.

$$-41x^{2}-9=50x$$

Soustraire 50x des deux côtés.

$$-41x^{2}-9-50x=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-41x^{2}-50x-9=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -41x^{2}+ax+bx-9. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-50 ab=-41\left(-9\right)=369$$

Étant donné que ab est positif, a et b ont le même signe. Étant donné que a+b est négatif, a et b sont négatives. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit 369.

$$-1,-369 -3,-123 -9,-41$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1-369=-370 -3-123=-126 -9-41=-50$$

La solution est la paire qui donne la somme -50.

$$a=-9 b=-41$$

Réécrire -41x^{2}-50x-9 en tant qu’\left(-41x^{2}-9x\right)+\left(-41x-9\right).

$$\left(-41x^{2}-9x\right)+\left(-41x-9\right)$$

Factorisez -x du premier et -1 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(41x+9\right)-\left(41x+9\right)$$

Factoriser le facteur commun 41x+9 en utilisant la distributivité.

$$\left(41x+9\right)\left(-x-1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez 41x+9=0 et -x-1=0.

$$x=-\frac{9}{41} x=-1$$

La variable x ne peut pas être égale à -1.

$$x=-\frac{9}{41}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x^{2}+x.

$$x\times 9x-9=50x\left(x+1\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}\times 9-9=50x\left(x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 50x par x+1.

$$x^{2}\times 9-9=50x^{2}+50x$$

Soustraire 50x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}\times 9-9-50x^{2}=50x$$

Combiner x^{2}\times 9 et -50x^{2} pour obtenir -41x^{2}.

$$-41x^{2}-9=50x$$

Soustraire 50x des deux côtés.

$$-41x^{2}-9-50x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-41x^{2}-50x-9=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -41 à a, -50 à b et -9 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{\left(-50\right)^{2}-4\left(-41\right)\left(-9\right)}}{2\left(-41\right)}$$

Calculer le carré de -50.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-4\left(-41\right)\left(-9\right)}}{2\left(-41\right)}$$

Multiplier -4 par -41.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500+164\left(-9\right)}}{2\left(-41\right)}$$

Multiplier 164 par -9.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{2500-1476}}{2\left(-41\right)}$$

Additionner 2500 et -1476.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±\sqrt{1024}}{2\left(-41\right)}$$

Extraire la racine carrée de 1024.

$$x=\frac{-\left(-50\right)±32}{2\left(-41\right)}$$

L’inverse de -50 est 50.

$$x=\frac{50±32}{2\left(-41\right)}$$

Multiplier 2 par -41.

$$x=\frac{50±32}{-82}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{50±32}{-82} lorsque ± est positif. Additionner 50 et 32.

$$x=\frac{82}{-82}$$

Diviser 82 par -82.

$$x=-1$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{50±32}{-82} lorsque ± est négatif. Soustraire 32 à 50.

$$x=\frac{18}{-82}$$

Réduire la fraction \frac{18}{-82} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{9}{41}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-1 x=-\frac{9}{41}$$

La variable x ne peut pas être égale à -1.

$$x=-\frac{9}{41}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x^{2}+x.

$$x\times 9x-9=50x\left(x+1\right)$$

Multiplier x et x pour obtenir x^{2}.

$$x^{2}\times 9-9=50x\left(x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 50x par x+1.

$$x^{2}\times 9-9=50x^{2}+50x$$

Soustraire 50x^{2} des deux côtés.

$$x^{2}\times 9-9-50x^{2}=50x$$

Combiner x^{2}\times 9 et -50x^{2} pour obtenir -41x^{2}.

$$-41x^{2}-9=50x$$

Soustraire 50x des deux côtés.

$$-41x^{2}-9-50x=0$$

Ajouter 9 aux deux côtés. Une valeur plus zéro donne la même valeur.

$$-41x^{2}-50x=9$$

Divisez les deux côtés par -41.

$$\frac{-41x^{2}-50x}{-41}=\frac{9}{-41}$$

La division par -41 annule la multiplication par -41.

$$x^{2}+\left(-\frac{50}{-41}\right)x=\frac{9}{-41}$$

Diviser -50 par -41.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x=\frac{9}{-41}$$

Diviser 9 par -41.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x=-\frac{9}{41}$$

Divisez \frac{50}{41}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{25}{41}. Ajouter ensuite le carré de \frac{25}{41} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x+\left(\frac{25}{41}\right)^{2}=-\frac{9}{41}+\left(\frac{25}{41}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{25}{41} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x+\frac{625}{1681}=-\frac{9}{41}+\frac{625}{1681}$$

Additionner -\frac{9}{41} et \frac{625}{1681} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{50}{41}x+\frac{625}{1681}=\frac{256}{1681}$$

Factor x^{2}+\frac{50}{41}x+\frac{625}{1681}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{25}{41}\right)^{2}=\frac{256}{1681}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{25}{41}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{1681}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{25}{41}=\frac{16}{41} x+\frac{25}{41}=-\frac{16}{41}$$

Soustraire \frac{25}{41} des deux côtés de l’équation.

$$x=-\frac{9}{41} x=-1$$

La variable x ne peut pas être égale à -1.

$$x=-\frac{9}{41}$$