Résoudre 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Calculer x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -15,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 4x\left(x+15\right), le plus petit commun multiple de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4x+60 par 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplier 4 et 75 pour obtenir 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplier 4 et \frac{1}{4} pour obtenir 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combiner 300x et 15x pour obtenir 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Soustraire 315x des deux côtés.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combiner 300x et -315x pour obtenir -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+4500. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

La solution est la paire qui donne la somme -15.

$$a=60 b=-75$$

Réécrire -x^{2}-15x+4500 en tant qu’\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Factorisez x du premier et 75 dans le deuxième groupe.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+60 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+60=0 et x+75=0.

$$x=60 x=-75$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -15,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 4x\left(x+15\right), le plus petit commun multiple de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4x+60 par 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplier 4 et 75 pour obtenir 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplier 4 et \frac{1}{4} pour obtenir 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combiner 300x et 15x pour obtenir 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Soustraire 315x des deux côtés.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combiner 300x et -315x pour obtenir -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -15 à b et 4500 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 225 et 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -15 est 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{15±135}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 15 et 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Diviser 150 par -2.

$$x=-75$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{15±135}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 135 à 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Diviser -120 par -2.

$$x=60$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-75 x=60$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -15,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 4x\left(x+15\right), le plus petit commun multiple de x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4x+60 par 75.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplier 4 et 75 pour obtenir 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Multiplier 4 et \frac{1}{4} pour obtenir 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+15.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Combiner 300x et 15x pour obtenir 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Soustraire 315x des deux côtés.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Combiner 300x et -315x pour obtenir -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Soustraire 4500 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Diviser -15 par -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Diviser -4500 par -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Divisez 15, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{15}{2}. Ajouter ensuite le carré de \frac{15}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{15}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Additionner 4500 et \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Factor x^{2}+15x+\frac{225}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Soustraire \frac{15}{2} des deux côtés de l’équation.

$$x=60 x=-75$$