Résoudre frac{6(k^{2}+1)^{2}-(3k^2-1)^2}{(3k^2+1)^2}=5/4

$$\frac { 6 ( k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } - ( 3 k ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 } } { ( 3 k ^ { 2 } + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 5 } { 4 }$$

Calculer k

$$k=-1$$

$$k=1$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multipliez les deux côtés de l’équation par 4\left(3k^{2}+1\right)^{2}, le plus petit commun multiple de \left(3k^{2}+1\right)^{2},4.

$$4\left(6\left(k^{2}+1\right)^{2}-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(k^{2}+1\right)^{2}.

$$4\left(6\left(\left(k^{2}\right)^{2}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$4\left(6\left(k^{4}+2k^{2}+1\right)-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 6 par k^{4}+2k^{2}+1.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(3k^{2}-1\right)^{2}\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3k^{2}-1\right)^{2}.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9\left(k^{2}\right)^{2}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-\left(9k^{4}-6k^{2}+1\right)\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Pour trouver l’opposé de 9k^{4}-6k^{2}+1, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$4\left(6k^{4}+12k^{2}+6-9k^{4}+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combiner 6k^{4} et -9k^{4} pour obtenir -3k^{4}.

$$4\left(-3k^{4}+12k^{2}+6+6k^{2}-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Combiner 12k^{2} et 6k^{2} pour obtenir 18k^{2}.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+6-1\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Soustraire 1 de 6 pour obtenir 5.

$$4\left(-3k^{4}+18k^{2}+5\right)=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par -3k^{4}+18k^{2}+5.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(3k^{2}+1\right)^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(3k^{2}+1\right)^{2}.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9\left(k^{2}\right)^{2}+6k^{2}+1\right)$$

Pour élever une puissance à une autre puissance, multipliez les exposants. Multipliez 2 par 2 pour obtenir 4.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=5\left(9k^{4}+6k^{2}+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par 9k^{4}+6k^{2}+1.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20=45k^{4}+30k^{2}+5$$

Soustraire 45k^{4} des deux côtés.

$$-12k^{4}+72k^{2}+20-45k^{4}=30k^{2}+5$$

Combiner -12k^{4} et -45k^{4} pour obtenir -57k^{4}.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20=30k^{2}+5$$

Soustraire 30k^{2} des deux côtés.

$$-57k^{4}+72k^{2}+20-30k^{2}=5$$

Combiner 72k^{2} et -30k^{2} pour obtenir 42k^{2}.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20=5$$

Soustraire 5 des deux côtés.

$$-57k^{4}+42k^{2}+20-5=0$$

Soustraire 5 de 20 pour obtenir 15.

$$-57k^{4}+42k^{2}+15=0$$

Substituer t pour k^{2}.

$$-57t^{2}+42t+15=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez -57 pour a, 42 pour b et 15 pour c dans la formule quadratique.

$$t=\frac{-42±\sqrt{42^{2}-4\left(-57\right)\times 15}}{-57\times 2}$$

Effectuer les calculs.

$$t=\frac{-42±72}{-114}$$

Résoudre l’équation t=\frac{-42±72}{-114} lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$t=-\frac{5}{19} t=1$$

Depuis k=t^{2}, les solutions sont obtenues en évaluant k=±\sqrt{t} pour des t positives.

$$k=1 k=-1$$

Calculer k (solution complexe)

$$k=\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx 0,512989176i$$

$$k=-\frac{\sqrt{95}i}{19}\approx -0-0,512989176i$$

$$k=-1$$

$$k=1$$