Résoudre 5/x-3-x-1/x-2=7

$$\frac { 5 } { x - 3 } - \frac { x - 1 } { x - 2 } = 7$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{11} + 11}{4} \approx 3,579156198$$

$$x = \frac{11 - \sqrt{11}}{4} \approx 1,920843802$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 2,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x-2\right), le plus petit commun multiple de x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-3 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}-4x+3, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combiner 5x et 4x pour obtenir 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Soustraire 3 de -10 pour obtenir -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 7 par x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 7x-21 par x-2 et combiner les termes semblables.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Soustraire 7x^{2} des deux côtés.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Combiner -x^{2} et -7x^{2} pour obtenir -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Ajouter 35x aux deux côtés.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Combiner 9x et 35x pour obtenir 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Soustraire 42 des deux côtés.

$$44x-13-8x^{2}-42=0$$

Soustraire 42 de -13 pour obtenir -55.

$$44x-55-8x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-8x^{2}+44x-55=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -8 à a, 44 à b et -55 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-44±\sqrt{44^{2}-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Calculer le carré de 44.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-4\left(-8\right)\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier -4 par -8.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936+32\left(-55\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier 32 par -55.

$$x=\frac{-44±\sqrt{1936-1760}}{2\left(-8\right)}$$

Additionner 1936 et -1760.

$$x=\frac{-44±\sqrt{176}}{2\left(-8\right)}$$

Extraire la racine carrée de 176.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{2\left(-8\right)}$$

Multiplier 2 par -8.

$$x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} lorsque ± est positif. Additionner -44 et 4\sqrt{11}.

$$x=\frac{4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Diviser -44+4\sqrt{11} par -16.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-44±4\sqrt{11}}{-16} lorsque ± est négatif. Soustraire 4\sqrt{11} à -44.

$$x=\frac{-4\sqrt{11}-44}{-16}$$

Diviser -44-4\sqrt{11} par -16.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{11-\sqrt{11}}{4} x=\frac{\sqrt{11}+11}{4}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 2,3 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-3\right)\left(x-2\right), le plus petit commun multiple de x-3,x-2.

$$\left(x-2\right)\times 5-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par 5.

$$5x-10-\left(x-3\right)\left(x-1\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x-3 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$5x-10-\left(x^{2}-4x+3\right)=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}-4x+3, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$5x-10-x^{2}+4x-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Combiner 5x et 4x pour obtenir 9x.

$$9x-10-x^{2}-3=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Soustraire 3 de -10 pour obtenir -13.

$$9x-13-x^{2}=7\left(x-3\right)\left(x-2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 7 par x-3.

$$9x-13-x^{2}=\left(7x-21\right)\left(x-2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 7x-21 par x-2 et combiner les termes semblables.

$$9x-13-x^{2}=7x^{2}-35x+42$$

Soustraire 7x^{2} des deux côtés.

$$9x-13-x^{2}-7x^{2}=-35x+42$$

Combiner -x^{2} et -7x^{2} pour obtenir -8x^{2}.

$$9x-13-8x^{2}=-35x+42$$

Ajouter 35x aux deux côtés.

$$9x-13-8x^{2}+35x=42$$

Combiner 9x et 35x pour obtenir 44x.

$$44x-13-8x^{2}=42$$

Ajouter 13 aux deux côtés.

$$44x-8x^{2}=42+13$$

Additionner 42 et 13 pour obtenir 55.

$$44x-8x^{2}=55$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+44x=55$$

Divisez les deux côtés par -8.

$$\frac{-8x^{2}+44x}{-8}=\frac{55}{-8}$$

La division par -8 annule la multiplication par -8.

$$x^{2}+\frac{44}{-8}x=\frac{55}{-8}$$

Réduire la fraction \frac{44}{-8} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=\frac{55}{-8}$$

Diviser 55 par -8.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x=-\frac{55}{8}$$

Divisez -\frac{11}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{11}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{11}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{55}{8}+\left(-\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{11}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=-\frac{55}{8}+\frac{121}{16}$$

Additionner -\frac{55}{8} et \frac{121}{16} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}=\frac{11}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{11}{2}x+\frac{121}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}=\frac{11}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{11}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{11}}{4} x-\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{11}}{4}$$

Ajouter \frac{11}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{11}+11}{4} x=\frac{11-\sqrt{11}}{4}$$