Résoudre 5/x^2-4+x/x-2=4

$$\frac { 5 } { x ^ { 2 } - 4 } + \frac { x } { x - 2 } = 4$$

Calculer x

$$x = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2,333333333$$

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+2 par x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 4x-8 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combiner x^{2} et -4x^{2} pour obtenir -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Ajouter 16 aux deux côtés.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Additionner 5 et 16 pour obtenir 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -3x^{2}+ax+bx+21. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=2 ab=-3\times 21=-63$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

La solution est la paire qui donne la somme 2.

$$a=9 b=-7$$

Réécrire -3x^{2}+2x+21 en tant qu’\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right).

$$\left(-3x^{2}+9x\right)+\left(-7x+21\right)$$

Factorisez 3x du premier et 7 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(-x+3\right)+7\left(-x+3\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+3 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+3\right)\left(3x+7\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+3=0 et 3x+7=0.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+2 par x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 4x-8 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combiner x^{2} et -4x^{2} pour obtenir -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Ajouter 16 aux deux côtés.

$$5-3x^{2}+2x+16=0$$

Additionner 5 et 16 pour obtenir 21.

$$21-3x^{2}+2x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3x^{2}+2x+21=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, 2 à b et 21 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\times 21}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par 21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 4 et 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$x=\frac{-2±16}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±16}{-6} lorsque ± est positif. Additionner -2 et 16.

$$x=\frac{14}{-6}$$

Réduire la fraction \frac{14}{-6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{7}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-2±16}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 16 à -2.

$$x=-\frac{18}{-6}$$

Diviser -18 par -6.

$$x=3$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{7}{3} x=3$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x^{2}-4,x-2.

$$5+\left(x+2\right)x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+2 par x.

$$5+x^{2}+2x=4\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 4 par x-2.

$$5+x^{2}+2x=\left(4x-8\right)\left(x+2\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 4x-8 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$5+x^{2}+2x=4x^{2}-16$$

Soustraire 4x^{2} des deux côtés.

$$5+x^{2}+2x-4x^{2}=-16$$

Combiner x^{2} et -4x^{2} pour obtenir -3x^{2}.

$$5-3x^{2}+2x=-16$$

Soustraire 5 des deux côtés.

$$-3x^{2}+2x=-16-5$$

Soustraire 5 de -16 pour obtenir -21.

$$-3x^{2}+2x=-21$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{21}{-3}$$

La division par -3 annule la multiplication par -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{21}{-3}$$

Diviser 2 par -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{21}{-3}$$

Diviser -21 par -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=7$$

Divisez -\frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=7+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=7+\frac{1}{9}$$

Additionner 7 et \frac{1}{9}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{64}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{64}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{8}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{8}{3}$$

Ajouter \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-\frac{7}{3}$$