Résoudre 30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

Calculer x

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4,666666667$$

$$x=2$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,-2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x+2\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+3 par x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+3x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x+2 par 2x+1 et combiner les termes semblables.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Soustraire 2x^{2} des deux côtés.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combiner -x^{2} et -2x^{2} pour obtenir -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Soustraire 5x des deux côtés.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combiner -3x et -5x pour obtenir -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Soustraire 2 des deux côtés.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Soustraire 2 de 30 pour obtenir 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -3x^{2}+ax+bx+28. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -84.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

La solution est la paire qui donne la somme -8.

$$a=6 b=-14$$

Réécrire -3x^{2}-8x+28 en tant qu’\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right).

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

Factorisez 3x du premier et 14 dans le deuxième groupe.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+2=0 et 3x+14=0.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,-2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x+2\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+3 par x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+3x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x+2 par 2x+1 et combiner les termes semblables.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Soustraire 2x^{2} des deux côtés.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combiner -x^{2} et -2x^{2} pour obtenir -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Soustraire 5x des deux côtés.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combiner -3x et -5x pour obtenir -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Soustraire 2 des deux côtés.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

Soustraire 2 de 30 pour obtenir 28.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -3 à a, -8 à b et 28 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Calculer le carré de -8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier -4 par -3.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 12 par 28.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

Additionner 64 et 336.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

Extraire la racine carrée de 400.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

L’inverse de -8 est 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

Multiplier 2 par -3.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±20}{-6} lorsque ± est positif. Additionner 8 et 20.

$$x=\frac{28}{-6}$$

Réduire la fraction \frac{28}{-6} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=-\frac{14}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{8±20}{-6} lorsque ± est négatif. Soustraire 20 à 8.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

Diviser -12 par -6.

$$x=2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -3,-2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x+2\right)\left(x+3\right), le plus petit commun multiple de x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+3 par x.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}+3x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier x+2 par 2x+1 et combiner les termes semblables.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

Soustraire 2x^{2} des deux côtés.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

Combiner -x^{2} et -2x^{2} pour obtenir -3x^{2}.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

Soustraire 5x des deux côtés.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

Combiner -3x et -5x pour obtenir -8x.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

Soustraire 30 des deux côtés.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

Soustraire 30 de 2 pour obtenir -28.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

Divisez les deux côtés par -3.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

La division par -3 annule la multiplication par -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

Diviser -8 par -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

Diviser -28 par -3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

Divisez \frac{8}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{4}{3}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

Additionner \frac{28}{3} et \frac{16}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

Soustraire \frac{4}{3} des deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$