Résoudre 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Calculer x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Étapes d’utilisation de la substitution

Examinez la première équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$3x+2y=22$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2x+y=14$$

Pour calculer une paire d’équations à l’aide de la substitution, commencez par résoudre l’un des équations pour l’une des variables. Substituez ensuite le résultat de cette variable dans l’autre équation.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Choisissez une des équations et résolvez-la x en isolant x à gauche du signe égal.

$$3x+2y=22$$

Soustraire 2y des deux côtés de l’équation.

$$3x=-2y+22$$

Divisez les deux côtés par 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Multiplier \frac{1}{3} par -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Substituer \frac{-2y+22}{3} par x dans l’autre équation, 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Multiplier 2 par \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Additionner -\frac{4y}{3} et y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Soustraire \frac{44}{3} des deux côtés de l’équation.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Multipliez les deux côtés par -3.

$$y=2$$

Substituer 2 à y dans x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Multiplier -\frac{2}{3} par 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Additionner \frac{22}{3} et -\frac{4}{3} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=6$$

Le système est désormais résolu.

$$x=6,y=2$$

Étapes d’utilisation des matrices

Examinez la première équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$3x+2y=22$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2x+y=14$$

Utiliser le format standard pour les équations, puis des matrices pour résoudre le système d’équations.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Écrire les équations sous forme de matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multipliez la partie gauche de l’équation par la matrice inversée de \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Le produit d’une matrice et son inverse constituent la matrice d’identité.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices du côté gauche du signe égal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Pour la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inverse est \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), de sorte que l’équation de matrice peut être réécrite en tant que problème de multiplication de matrice.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Multiplier les matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Faites le calcul.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Extraire les éléments de matrice x et y.

$$x=6,y=2$$

Étapes d’utilisation de l’élimination

Examinez la première équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$3x+2y=22$$

Examinez la deuxième équation. Multiplier les deux côtés de l’équation par 2.

$$2x+y=14$$

Pour calculer par élimination, les coefficients de l’une des variables doivent être identiques dans les deux équations de telle sorte que la variable s’annule lorsqu’une équation est soustraite de l’autre.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Pour rendre 3x et 2x égaux, multipliez tous les termes de chaque côté de la première équation par 2 et tous les termes de chaque côté de la seconde équation par 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Simplifier.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Soustraire 6x+3y=42 de 6x+4y=44 en soustrayant les termes semblables de chaque côté du signe égal.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Additionner 6x et -6x. Les termes 6x et-6x s’annulent, en laissant une équation avec une seule variable pouvant être résolue.

$$4y-3y=44-42$$

Additionner 4y et -3y.

$$y=44-42$$

Additionner 44 et -42.

$$y=2$$

Substituer 2 à y dans 2x+y=14. Comme l’équation résultante ne contient qu’une variable, vous pouvez calculer x directement.

$$2x+2=14$$

Soustraire 2 des deux côtés de l’équation.

$$2x=12$$

Divisez les deux côtés par 2.

$$x=6$$

Le système est désormais résolu.

$$x=6,y=2$$