Résoudre 3/4x^2-1/2x-1/12=0

$$\frac { 3 } { 4 } x ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } x - \frac { 1 } { 12 } = 0$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{3}\approx 0,804737854$$

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{3}\approx -0,138071187$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez \frac{3}{4} à a, -\frac{1}{2} à b et -\frac{1}{12} à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-4\times \frac{3}{4}\left(-\frac{1}{12}\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-4\times \frac{3}{4}\left(-\frac{1}{12}\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Multiplier -4 par \frac{3}{4}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{4}-3\left(-\frac{1}{12}\right)}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Multiplier -3 par -\frac{1}{12}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1+1}{4}}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Additionner \frac{1}{4} et \frac{1}{4} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\sqrt{\frac{1}{2}}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Extraire la racine carrée de \frac{1}{2}.

$$x=\frac{-\left(-\frac{1}{2}\right)±\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\times \frac{3}{4}}$$

L’inverse de -\frac{1}{2} est \frac{1}{2}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{2}}{2}}{2\times \frac{3}{4}}$$

Multiplier 2 par \frac{3}{4}.

$$x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{2}}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{2}} lorsque ± est positif. Additionner \frac{1}{2} et \frac{\sqrt{2}}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{\frac{3}{2}\times 2}$$

Diviser \frac{1+\sqrt{2}}{2} par \frac{3}{2} en multipliant \frac{1+\sqrt{2}}{2} par la réciproque de \frac{3}{2}.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{3}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{\frac{1}{2}±\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{3}{2}} lorsque ± est négatif. Soustraire \frac{\sqrt{2}}{2} à \frac{1}{2}.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{\frac{3}{2}\times 2}$$

Diviser \frac{1-\sqrt{2}}{2} par \frac{3}{2} en multipliant \frac{1-\sqrt{2}}{2} par la réciproque de \frac{3}{2}.

$$x=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}=0$$

Ajouter \frac{1}{12} aux deux côtés de l’équation.

$$\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{12}-\left(-\frac{1}{12}\right)=-\left(-\frac{1}{12}\right)$$

La soustraction de -\frac{1}{12} de lui-même donne 0.

$$\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x=-\left(-\frac{1}{12}\right)$$

Soustraire -\frac{1}{12} à 0.

$$\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{1}{12}$$

Diviser les deux côtés de l’équation par \frac{3}{4}, ce qui revient à multiplier les deux côtés par la réciproque de la fraction.

$$\frac{\frac{3}{4}x^{2}-\frac{1}{2}x}{\frac{3}{4}}=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{3}{4}}$$

La division par \frac{3}{4} annule la multiplication par \frac{3}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{4}}\right)x=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{3}{4}}$$

Diviser -\frac{1}{2} par \frac{3}{4} en multipliant -\frac{1}{2} par la réciproque de \frac{3}{4}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{\frac{1}{12}}{\frac{3}{4}}$$

Diviser \frac{1}{12} par \frac{3}{4} en multipliant \frac{1}{12} par la réciproque de \frac{3}{4}.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{9}$$

Divisez -\frac{2}{3}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{3}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{3} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1+1}{9}$$

Additionner \frac{1}{9} et \frac{1}{9} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Ajouter \frac{1}{3} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{2}+1}{3} x=\frac{1-\sqrt{2}}{3}$$