Résoudre 2r/r^2-1-1/r+1

$$\frac { 2 r } { r ^ { 2 } - 1 } - \frac { 1 } { r + 1 }$$

Évaluer

$$\frac{1}{r-1}$$

Résumé des étapes de la solution

Factoriser r^{2}-1.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1}$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de \left(r-1\right)\left(r+1\right) et r+1 est \left(r-1\right)\left(r+1\right). Multiplier \frac{1}{r+1} par \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Étant donné que \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} et \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Effectuez les multiplications dans 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Combiner des termes semblables dans 2r-r+1.

$$\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}$$

Annuler r+1 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{1}{r-1}$$

Différencier w.r.t. r

$$-\frac{1}{\left(r-1\right)^{2}}$$

Étapes d’utilisation de la règle de dérivation en chaîne

Factoriser r^{2}-1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{1}{r+1})$$

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de \left(r-1\right)\left(r+1\right) et r+1 est \left(r-1\right)\left(r+1\right). Multiplier \frac{1}{r+1} par \frac{r-1}{r-1}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)}-\frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Étant donné que \frac{2r}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} et \frac{r-1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)} ont un dénominateur commun, soustrayez-les en soustrayant leur numérateur.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-\left(r-1\right)}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Effectuez les multiplications dans 2r-\left(r-1\right).

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{2r-r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Combiner des termes semblables dans 2r-r+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{r+1}{\left(r-1\right)\left(r+1\right)})$$

Annuler r+1 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(\frac{1}{r-1})$$

Si F est la composition de deux fonctions dérivables f\left(u\right) et u=g\left(x\right), c’est-à-dire, si F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), puis la dérivée de F est la dérivée de f par rapport à u fois la dérivée de g par rapport à x, c’est-à-dire, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}r}(r^{1}-1)$$

La dérivée d’un polynôme est la somme des dérivées de ses termes. La dérivée d’un terme constant est 0. La dérivée de ax^{n} est nax^{n-1}.

$$-\left(r^{1}-1\right)^{-2}r^{1-1}$$

Simplifier.

$$-r^{0}\left(r^{1}-1\right)^{-2}$$

Pour n’importe quel terme t, t^{1}=t.

$$-r^{0}\left(r-1\right)^{-2}$$

Pour n’importe quel terme t à l’exception de 0, t^{0}=1.

$$-\left(r-1\right)^{-2}$$