Résoudre frac{2(sqrt{3}+sqrt{2})}{4-sqrt{6}}*frac{9-sqrt{6}}{4-sqrt{6}}

$$\frac { 2 ( \sqrt { 3 } + \sqrt { 2 } ) } { 4 - \sqrt { 6 } } \cdot \frac { 9 - \sqrt { 6 } } { 4 - \sqrt { 6 } }$$

Évaluer

$$5\sqrt{3}+6\sqrt{2}\approx 17,145535412$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)}{4-\sqrt{6}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 4+\sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{\left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Considérer \left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Calculer le carré de 4. Calculer le carré de \sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{16-6}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Soustraire 6 de 16 pour obtenir 10.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{9-\sqrt{6}}{4-\sqrt{6}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 4+\sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{\left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}$$

Considérer \left(4-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{4^{2}-\left(\sqrt{6}\right)^{2}}$$

Calculer le carré de 4. Calculer le carré de \sqrt{6}.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{16-6}$$

Soustraire 6 de 16 pour obtenir 10.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}\times \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10}$$

Multiplier \frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10} par \frac{\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10} en multipliant le numérateur par le numérateur et le dénominateur par le dénominateur.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)\left(9-\sqrt{6}\right)\left(4+\sqrt{6}\right)}{10\times 10}$$

Annuler 2 dans le numérateur et le dénominateur.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+4\right)\left(\sqrt{6}+4\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Multiplier \sqrt{6}+4 et \sqrt{6}+4 pour obtenir \left(\sqrt{6}+4\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{6}+4\right)^{2}\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{6}+4\right)^{2}.

$$\frac{\left(\left(\sqrt{6}\right)^{2}+8\sqrt{6}+16\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Le carré de \sqrt{6} est 6.

$$\frac{\left(6+8\sqrt{6}+16\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Additionner 6 et 16 pour obtenir 22.

$$\frac{\left(22+8\sqrt{6}\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{5\times 10}$$

Multiplier 5 et 10 pour obtenir 50.

$$\frac{\left(22+8\sqrt{6}\right)\left(-\sqrt{6}+9\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 22+8\sqrt{6} par chaque terme de -\sqrt{6}+9.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-8\left(\sqrt{6}\right)^{2}+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Le carré de \sqrt{6} est 6.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-8\times 6+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Multiplier -8 et 6 pour obtenir -48.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+198-48+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Soustraire 48 de 198 pour obtenir 150.

$$\frac{\left(-22\sqrt{6}+150+72\sqrt{6}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Combiner -22\sqrt{6} et 72\sqrt{6} pour obtenir 50\sqrt{6}.

$$\frac{\left(50\sqrt{6}+150\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}{50}$$

Appliquez la distributivité en multipliant chaque terme de 50\sqrt{6}+150 par chaque terme de \sqrt{2}+\sqrt{3}.

$$\frac{50\sqrt{6}\sqrt{2}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Factoriser 6=2\times 3. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{2\times 3} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{2}\sqrt{3}.

$$\frac{50\sqrt{2}\sqrt{3}\sqrt{2}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplier \sqrt{2} et \sqrt{2} pour obtenir 2.

$$\frac{50\times 2\sqrt{3}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplier 50 et 2 pour obtenir 100.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\sqrt{6}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Factoriser 6=3\times 2. Réécrivez la racine carrée du \sqrt{3\times 2} de produit en tant que produit des racines carrées \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplier \sqrt{3} et \sqrt{3} pour obtenir 3.

$$\frac{100\sqrt{3}+50\times 3\sqrt{2}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Multiplier 50 et 3 pour obtenir 150.

$$\frac{100\sqrt{3}+150\sqrt{2}+150\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Combiner 150\sqrt{2} et 150\sqrt{2} pour obtenir 300\sqrt{2}.

$$\frac{100\sqrt{3}+300\sqrt{2}+150\sqrt{3}}{50}$$

Combiner 100\sqrt{3} et 150\sqrt{3} pour obtenir 250\sqrt{3}.

$$\frac{250\sqrt{3}+300\sqrt{2}}{50}$$

Divisez chaque terme de 250\sqrt{3}+300\sqrt{2} par 50 pour obtenir 5\sqrt{3}+6\sqrt{2}.

$$5\sqrt{3}+6\sqrt{2}$$

Factoriser

$$5 \sqrt{3} + 6 \sqrt{2} = 17,145535412$$