Résoudre 2/x+3/x+1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 3 } { x + 1 }$$

Évaluer

$$\frac{5x+2}{x\left(x+1\right)}$$

Résumé des étapes de la solution

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de x et x+1 est x\left(x+1\right). Multiplier \frac{2}{x} par \frac{x+1}{x+1}. Multiplier \frac{3}{x+1} par \frac{x}{x}.

$$\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{3x}{x\left(x+1\right)}$$

Étant donné que \frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)} et \frac{3x}{x\left(x+1\right)} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\frac{2\left(x+1\right)+3x}{x\left(x+1\right)}$$

Effectuez les multiplications dans 2\left(x+1\right)+3x.

$$\frac{2x+2+3x}{x\left(x+1\right)}$$

Combiner des termes semblables dans 2x+2+3x.

$$\frac{5x+2}{x\left(x+1\right)}$$

Étendre x\left(x+1\right).

$$\frac{5x+2}{x^{2}+x}$$

Différencier w.r.t. x

$$-\frac{5x^{2}+4x+2}{\left(x\left(x+1\right)\right)^{2}}$$

Étapes d’utilisation de la règle de dérivation pour le quotient

Pour ajouter ou soustraire des expressions, développez-les pour rendre leurs dénominateurs identiques. Le plus petit dénominateur commun de x et x+1 est x\left(x+1\right). Multiplier \frac{2}{x} par \frac{x+1}{x+1}. Multiplier \frac{3}{x+1} par \frac{x}{x}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)}+\frac{3x}{x\left(x+1\right)})$$

Étant donné que \frac{2\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right)} et \frac{3x}{x\left(x+1\right)} ont un dénominateur commun, additionnez-les en additionnant leur numérateur.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2\left(x+1\right)+3x}{x\left(x+1\right)})$$

Effectuez les multiplications dans 2\left(x+1\right)+3x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{2x+2+3x}{x\left(x+1\right)})$$

Combiner des termes semblables dans 2x+2+3x.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x+2}{x\left(x+1\right)})$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+1.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\frac{5x+2}{x^{2}+x})$$

Pour deux fonctions dérivables, la dérivée du quotient des deux fonctions est le dénominateur fois la dérivée du numérateur moins le numérateur fois la dérivée du dénominateur, le tout divisé par le dénominateur au carré.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(5x^{1}+2)-\left(5x^{1}+2\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{2}+x^{1})}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

La dérivée d’un polynôme est la somme des dérivées de ses termes. La dérivée d’un terme constant est 0. La dérivée de ax^{n} est nax^{n-1}.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\times 5x^{1-1}-\left(5x^{1}+2\right)\left(2x^{2-1}+x^{1-1}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Simplifier.

$$\frac{\left(x^{2}+x^{1}\right)\times 5x^{0}-\left(5x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Multiplier x^{2}+x^{1} par 5x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 5x^{0}+x^{1}\times 5x^{0}-\left(5x^{1}+2\right)\left(2x^{1}+x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Multiplier 5x^{1}+2 par 2x^{1}+x^{0}.

$$\frac{x^{2}\times 5x^{0}+x^{1}\times 5x^{0}-\left(5x^{1}\times 2x^{1}+5x^{1}x^{0}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Pour multiplier les puissances de la même base, additionnez leurs exposants.

$$\frac{5x^{2}+5x^{1}-\left(5\times 2x^{1+1}+5x^{1}+2\times 2x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Simplifier.

$$\frac{5x^{2}+5x^{1}-\left(10x^{2}+5x^{1}+4x^{1}+2x^{0}\right)}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Combiner des termes semblables.

$$\frac{-5x^{2}-4x^{1}-2x^{0}}{\left(x^{2}+x^{1}\right)^{2}}$$

Pour n’importe quel terme t, t^{1}=t.

$$\frac{-5x^{2}-4x-2x^{0}}{\left(x^{2}+x\right)^{2}}$$

Pour n’importe quel terme t à l’exception de 0, t^{0}=1.

$$\frac{-5x^{2}-4x-2}{\left(x^{2}+x\right)^{2}}$$