Résoudre 2/5sqrt{3+3sqrt{15}}

$$\frac { 2 } { 5 \sqrt { 3 } + 3 \sqrt { 15 } }$$

Évaluer

$$\frac{\sqrt{3}\left(3\sqrt{5}-5\right)}{30}\approx 0,0986232$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{2}{5\sqrt{3}+3\sqrt{15}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 5\sqrt{3}-3\sqrt{15}.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{\left(5\sqrt{3}+3\sqrt{15}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}$$

Considérer \left(5\sqrt{3}+3\sqrt{15}\right)\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Étendre \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Calculer 5 à la puissance 2 et obtenir 25.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{25\left(\sqrt{3}\right)^{2}-\left(3\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{25\times 3-\left(3\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Multiplier 25 et 3 pour obtenir 75.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{75-\left(3\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Étendre \left(3\sqrt{15}\right)^{2}.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{75-3^{2}\left(\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Calculer 3 à la puissance 2 et obtenir 9.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{75-9\left(\sqrt{15}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{15} est 15.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{75-9\times 15}$$

Multiplier 9 et 15 pour obtenir 135.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{75-135}$$

Soustraire 135 de 75 pour obtenir -60.

$$\frac{2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)}{-60}$$

Diviser 2\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right) par -60 pour obtenir -\frac{1}{30}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right).

$$-\frac{1}{30}\left(5\sqrt{3}-3\sqrt{15}\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -\frac{1}{30} par 5\sqrt{3}-3\sqrt{15}.

$$-\frac{1}{30}\times 5\sqrt{3}-\frac{1}{30}\left(-3\right)\sqrt{15}$$

Exprimer -\frac{1}{30}\times 5 sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{-5}{30}\sqrt{3}-\frac{1}{30}\left(-3\right)\sqrt{15}$$

Réduire la fraction \frac{-5}{30} au maximum en extrayant et en annulant 5.

$$-\frac{1}{6}\sqrt{3}-\frac{1}{30}\left(-3\right)\sqrt{15}$$

Exprimer -\frac{1}{30}\left(-3\right) sous la forme d’une fraction seule.

$$-\frac{1}{6}\sqrt{3}+\frac{-\left(-3\right)}{30}\sqrt{15}$$

Multiplier -1 et -3 pour obtenir 3.

$$-\frac{1}{6}\sqrt{3}+\frac{3}{30}\sqrt{15}$$

Réduire la fraction \frac{3}{30} au maximum en extrayant et en annulant 3.

$$-\frac{1}{6}\sqrt{3}+\frac{1}{10}\sqrt{15}$$