Résoudre frac{2sqrt{5}+5}{2sqrt{5}-5}

$$\frac { 2 \sqrt { 5 } + 5 } { 2 \sqrt { 5 } - 5 }$$

Évaluer

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{2\sqrt{5}+5}{2\sqrt{5}-5} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2\sqrt{5}+5.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}$$

Considérer \left(2\sqrt{5}-5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)\left(2\sqrt{5}+5\right)}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Multiplier 2\sqrt{5}+5 et 2\sqrt{5}+5 pour obtenir \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2\sqrt{5}+5\right)^{2}.

$$\frac{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{4\times 5+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Multiplier 4 et 5 pour obtenir 20.

$$\frac{20+20\sqrt{5}+25}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Additionner 20 et 25 pour obtenir 45.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{\left(2\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Étendre \left(2\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{2^{2}\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\left(\sqrt{5}\right)^{2}-5^{2}}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{4\times 5-5^{2}}$$

Multiplier 4 et 5 pour obtenir 20.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-5^{2}}$$

Calculer 5 à la puissance 2 et obtenir 25.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{20-25}$$

Soustraire 25 de 20 pour obtenir -5.

$$\frac{45+20\sqrt{5}}{-5}$$

Divisez chaque terme de 45+20\sqrt{5} par -5 pour obtenir -9-4\sqrt{5}.

$$-9-4\sqrt{5}$$

Factoriser

$$-\left(4\sqrt{5}+9\right)$$