Résoudre frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Évaluer

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Considérer \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Calculer le carré de 2. Calculer le carré de \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Soustraire 5 de 4 pour obtenir -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Multiplier 2+\sqrt{5} et 2+\sqrt{5} pour obtenir \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Le carré de \sqrt{5} est 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Additionner 4 et 5 pour obtenir 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Si on divise un nombre par -1, on obtient son inverse. Pour trouver l’opposé de 9+4\sqrt{5}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$-9-4\sqrt{5}$$