Résoudre frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Calculer b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Étapes de calcul des équations linéaires

Rationaliser le dénominateur de \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Considérer \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Calculer le carré de 2. Calculer le carré de \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Soustraire 3 de 4 pour obtenir 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Tout nombre divisé par 1 donne lui-même.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Multiplier 2+\sqrt{3} et 2+\sqrt{3} pour obtenir \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Additionner 4 et 3 pour obtenir 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Soustraire a des deux côtés.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

L’équation utilise le format standard.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Divisez les deux côtés par \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

La division par \sqrt{3} annule la multiplication par \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Diviser 4\sqrt{3}-a+7 par \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Calculer a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$