Résoudre 168/x-168/x+14=1

$$\frac { 168 } { x } - \frac { 168 } { x + 14 } = 1$$

Calculer x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -14,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+14\right), le plus petit commun multiple de x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+14 par 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Soustraire 14x des deux côtés.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combiner 168x et -14x pour obtenir 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Multiplier -1 et 168 pour obtenir -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combiner 154x et -168x pour obtenir -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+2352. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-14 ab=-2352=-2352$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -2352.

$$1,-2352 2,-1176 3,-784 4,-588 6,-392 7,-336 8,-294 12,-196 14,-168 16,-147 21,-112 24,-98 28,-84 42,-56 48,-49$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-2352=-2351 2-1176=-1174 3-784=-781 4-588=-584 6-392=-386 7-336=-329 8-294=-286 12-196=-184 14-168=-154 16-147=-131 21-112=-91 24-98=-74 28-84=-56 42-56=-14 48-49=-1$$

La solution est la paire qui donne la somme -14.

$$a=42 b=-56$$

Réécrire -x^{2}-14x+2352 en tant qu’\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right).

$$\left(-x^{2}+42x\right)+\left(-56x+2352\right)$$

Factorisez x du premier et 56 dans le deuxième groupe.

$$x\left(-x+42\right)+56\left(-x+42\right)$$

Factoriser le facteur commun -x+42 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+42\right)\left(x+56\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+42=0 et x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -14,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+14\right), le plus petit commun multiple de x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+14 par 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Soustraire 14x des deux côtés.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combiner 168x et -14x pour obtenir 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Multiplier -1 et 168 pour obtenir -168.

$$154x+2352-168x-x^{2}=0$$

Combiner 154x et -168x pour obtenir -14x.

$$-14x+2352-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}-14x+2352=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, -14 à b et 2352 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de -14.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\left(-1\right)\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+4\times 2352}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 2352.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+9408}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 196 et 9408.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{9604}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 9604.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±98}{2\left(-1\right)}$$

L’inverse de -14 est 14.

$$x=\frac{14±98}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{14±98}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±98}{-2} lorsque ± est positif. Additionner 14 et 98.

$$x=\frac{112}{-2}$$

Diviser 112 par -2.

$$x=-56$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{14±98}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 98 à 14.

$$x=-\frac{84}{-2}$$

Diviser -84 par -2.

$$x=42$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-56 x=42$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -14,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x\left(x+14\right), le plus petit commun multiple de x,x+14.

$$\left(x+14\right)\times 168-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+14 par 168.

$$168x+2352-x\times 168=x\left(x+14\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x par x+14.

$$168x+2352-x\times 168=x^{2}+14x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}=14x$$

Soustraire 14x des deux côtés.

$$168x+2352-x\times 168-x^{2}-14x=0$$

Combiner 168x et -14x pour obtenir 154x.

$$154x+2352-x\times 168-x^{2}=0$$

Soustraire 2352 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$154x-x\times 168-x^{2}=-2352$$

Multiplier -1 et 168 pour obtenir -168.

$$154x-168x-x^{2}=-2352$$

Combiner 154x et -168x pour obtenir -14x.

$$-14x-x^{2}=-2352$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-14x=-2352$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}-14x}{-1}=-\frac{2352}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{-1}\right)x=-\frac{2352}{-1}$$

Diviser -14 par -1.

$$x^{2}+14x=-\frac{2352}{-1}$$

Diviser -2352 par -1.

$$x^{2}+14x=2352$$

Divisez 14, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer 7. Ajouter ensuite le carré de 7 aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Calculer le carré de 7.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Additionner 2352 et 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Factor x^{2}+14x+49. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Simplifier.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Soustraire 7 des deux côtés de l’équation.

$$x=42 x=-56$$