Résoudre 15/p+6p-5/p+2=1

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

Calculer p

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0,8+2,315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0,8-2,315167381i$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable p ne peut pas être égale à une des valeurs -2,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par p\left(p+2\right), le plus petit commun multiple de p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier p+2 par 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier p par 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Combiner 15p et -5p pour obtenir 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier p par p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Soustraire p^{2} des deux côtés.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Combiner 6p^{2} et -p^{2} pour obtenir 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Soustraire 2p des deux côtés.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Combiner 10p et -2p pour obtenir 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$5p^{2}+8p+30=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 5 à a, 8 à b et 30 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Calculer le carré de 8.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplier -4 par 5.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplier -20 par 30.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

Additionner 64 et -600.

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

Extraire la racine carrée de -536.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

Multiplier 2 par 5.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} lorsque ± est positif. Additionner -8 et 2i\sqrt{134}.

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

Diviser -8+2i\sqrt{134} par 10.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} lorsque ± est négatif. Soustraire 2i\sqrt{134} à -8.

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

Diviser -8-2i\sqrt{134} par 10.

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable p ne peut pas être égale à une des valeurs -2,0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par p\left(p+2\right), le plus petit commun multiple de p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier p+2 par 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier p par 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Combiner 15p et -5p pour obtenir 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier p par p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Soustraire p^{2} des deux côtés.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Combiner 6p^{2} et -p^{2} pour obtenir 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Soustraire 2p des deux côtés.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Combiner 10p et -2p pour obtenir 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Soustraire 30 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$8p+5p^{2}=-30$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$5p^{2}+8p=-30$$

Divisez les deux côtés par 5.

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

La division par 5 annule la multiplication par 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

Diviser -30 par 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

Divisez \frac{8}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{4}{5}. Ajouter ensuite le carré de \frac{4}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{4}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

Additionner -6 et \frac{16}{25}.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

Factor p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

Simplifier.

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

Soustraire \frac{4}{5} des deux côtés de l’équation.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$