Résoudre 1/x-1+1/x-4=5/4

$$\frac { 1 } { x - 1 } + \frac { 1 } { x - 4 } = \frac { 5 } { 4 }$$

Calculer x

$$x=5$$

$$x = \frac{8}{5} = 1\frac{3}{5} = 1,6$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 1,4 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), le plus petit commun multiple de x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combiner 4x et 4x pour obtenir 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Soustraire 4 de -16 pour obtenir -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 5x-20 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Soustraire 5x^{2} des deux côtés.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Ajouter 25x aux deux côtés.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combiner 8x et 25x pour obtenir 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Soustraire 20 des deux côtés.

$$33x-20-5x^{2}-20=0$$

Soustraire 20 de -20 pour obtenir -40.

$$33x-40-5x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-5x^{2}+33x-40=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -5 à a, 33 à b et -40 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Calculer le carré de 33.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-4\left(-5\right)\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplier -4 par -5.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089+20\left(-40\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Multiplier 20 par -40.

$$x=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\left(-5\right)}$$

Additionner 1089 et -800.

$$x=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\left(-5\right)}$$

Extraire la racine carrée de 289.

$$x=\frac{-33±17}{2\left(-5\right)}$$

Multiplier 2 par -5.

$$x=\frac{-33±17}{-10}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-33±17}{-10} lorsque ± est positif. Additionner -33 et 17.

$$x=-\frac{16}{-10}$$

Réduire la fraction \frac{-16}{-10} au maximum en extrayant et en annulant 2.

$$x=\frac{8}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-33±17}{-10} lorsque ± est négatif. Soustraire 17 à -33.

$$x=-\frac{50}{-10}$$

Diviser -50 par -10.

$$x=5$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{8}{5} x=5$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 1,4 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 4\left(x-4\right)\left(x-1\right), le plus petit commun multiple de x-1,x-4,4.

$$4x-16+4x-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Combiner 4x et 4x pour obtenir 8x.

$$8x-16-4=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Soustraire 4 de -16 pour obtenir -20.

$$8x-20=5\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5 par x-4.

$$8x-20=\left(5x-20\right)\left(x-1\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 5x-20 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$8x-20=5x^{2}-25x+20$$

Soustraire 5x^{2} des deux côtés.

$$8x-20-5x^{2}=-25x+20$$

Ajouter 25x aux deux côtés.

$$8x-20-5x^{2}+25x=20$$

Combiner 8x et 25x pour obtenir 33x.

$$33x-20-5x^{2}=20$$

Ajouter 20 aux deux côtés.

$$33x-5x^{2}=20+20$$

Additionner 20 et 20 pour obtenir 40.

$$33x-5x^{2}=40$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+33x=40$$

Divisez les deux côtés par -5.

$$\frac{-5x^{2}+33x}{-5}=\frac{40}{-5}$$

La division par -5 annule la multiplication par -5.

$$x^{2}+\frac{33}{-5}x=\frac{40}{-5}$$

Diviser 33 par -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=\frac{40}{-5}$$

Diviser 40 par -5.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x=-8$$

Divisez -\frac{33}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{33}{10}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{33}{10} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{33}{10}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{33}{10} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=-8+\frac{1089}{100}$$

Additionner -8 et \frac{1089}{100}.

$$x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}=\frac{289}{100}$$

Factor x^{2}-\frac{33}{5}x+\frac{1089}{100}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}=\frac{289}{100}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{33}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{100}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{33}{10}=\frac{17}{10} x-\frac{33}{10}=-\frac{17}{10}$$

Ajouter \frac{33}{10} aux deux côtés de l’équation.

$$x=5 x=\frac{8}{5}$$