Résoudre 1/x^2-5/x-14=0

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } } - \frac { 5 } { x } - 14 = 0$$

Calculer x

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à 0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x^{2}, le plus petit commun multiple de x^{2},x.

$$1-x\times 5+x^{2}\left(-14\right)=0$$

Multiplier -1 et 5 pour obtenir -5.

$$1-5x+x^{2}\left(-14\right)=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-14x^{2}-5x+1=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -14x^{2}+ax+bx+1. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=-5 ab=-14=-14$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est négatif, le nombre négatif a une valeur absolue supérieure à la valeur positive. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -14.

$$1,-14 2,-7$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$1-14=-13 2-7=-5$$

La solution est la paire qui donne la somme -5.

$$a=2 b=-7$$

Réécrire -14x^{2}-5x+1 en tant qu’\left(-14x^{2}+2x\right)+\left(-7x+1\right).

$$\left(-14x^{2}+2x\right)+\left(-7x+1\right)$$

Factoriser 2x dans -14x^{2}+2x.

$$2x\left(-7x+1\right)-7x+1$$

Factoriser le facteur commun -7x+1 en utilisant la distributivité.

$$\left(-7x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -7x+1=0 et 2x+1=0.

$$x=\frac{1}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à 0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x^{2}, le plus petit commun multiple de x^{2},x.

$$1-x\times 5+x^{2}\left(-14\right)=0$$

Multiplier -1 et 5 pour obtenir -5.

$$1-5x+x^{2}\left(-14\right)=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-14x^{2}-5x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -14 à a, -5 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Calculer le carré de -5.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-14\right)}}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier -4 par -14.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+56}}{2\left(-14\right)}$$

Additionner 25 et 56.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{81}}{2\left(-14\right)}$$

Extraire la racine carrée de 81.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±9}{2\left(-14\right)}$$

L’inverse de -5 est 5.

$$x=\frac{5±9}{2\left(-14\right)}$$

Multiplier 2 par -14.

$$x=\frac{5±9}{-28}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±9}{-28} lorsque ± est positif. Additionner 5 et 9.

$$x=\frac{14}{-28}$$

Réduire la fraction \frac{14}{-28} au maximum en extrayant et en annulant 14.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{5±9}{-28} lorsque ± est négatif. Soustraire 9 à 5.

$$x=-\frac{4}{-28}$$

Réduire la fraction \frac{-4}{-28} au maximum en extrayant et en annulant 4.

$$x=\frac{1}{7}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{2} x=\frac{1}{7}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à 0 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par x^{2}, le plus petit commun multiple de x^{2},x.

$$1-x\times 5+x^{2}\left(-14\right)=0$$

Soustraire 1 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-x\times 5+x^{2}\left(-14\right)=-1$$

Multiplier -1 et 5 pour obtenir -5.

$$-5x+x^{2}\left(-14\right)=-1$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}-5x=-1$$

Divisez les deux côtés par -14.

$$\frac{-14x^{2}-5x}{-14}=-\frac{1}{-14}$$

La division par -14 annule la multiplication par -14.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-14}\right)x=-\frac{1}{-14}$$

Diviser -5 par -14.

$$x^{2}+\frac{5}{14}x=-\frac{1}{-14}$$

Diviser -1 par -14.

$$x^{2}+\frac{5}{14}x=\frac{1}{14}$$

Divisez \frac{5}{14}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{5}{28}. Ajouter ensuite le carré de \frac{5}{28} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{5}{14}x+\left(\frac{5}{28}\right)^{2}=\frac{1}{14}+\left(\frac{5}{28}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{5}{28} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{5}{14}x+\frac{25}{784}=\frac{1}{14}+\frac{25}{784}$$

Additionner \frac{1}{14} et \frac{25}{784} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x^{2}+\frac{5}{14}x+\frac{25}{784}=\frac{81}{784}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{14}x+\frac{25}{784}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{28}\right)^{2}=\frac{81}{784}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{784}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{5}{28}=\frac{9}{28} x+\frac{5}{28}=-\frac{9}{28}$$

Soustraire \frac{5}{28} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{1}{7} x=-\frac{1}{2}$$