Résoudre 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Calculer x

$$x=-1$$

Étapes de la solution

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -8,-5,-2,1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), le plus petit commun multiple de x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 21 par x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 21x+105 par x+8 et combiner les termes semblables.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 21 par x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 21x-21 par x+8 et combiner les termes semblables.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combiner 21x^{2} et 21x^{2} pour obtenir 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combiner 273x et 147x pour obtenir 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Soustraire 168 de 840 pour obtenir 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 21 par x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 21x+42 par x-1 et combiner les termes semblables.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combiner 42x^{2} et 21x^{2} pour obtenir 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Combiner 420x et 21x pour obtenir 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Soustraire 42 de 672 pour obtenir 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 7 par x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 7x+14 par x+5 et combiner les termes semblables.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier 7x^{2}+49x+70 par x+8 et combiner les termes semblables.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Multiplier 21 et -\frac{1}{21} pour obtenir -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -1 par x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier -x+1 par x+2 et combiner les termes semblables.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier -x^{2}-x+2 par x+5 et combiner les termes semblables.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Utilisez la distributivité pour multiplier -x^{3}-6x^{2}-3x+10 par x+8 et combiner les termes semblables.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Combiner 7x^{3} et -14x^{3} pour obtenir -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Combiner 105x^{2} et -51x^{2} pour obtenir 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Combiner 462x et -14x pour obtenir 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Additionner 560 et 80 pour obtenir 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Ajouter 7x^{3} aux deux côtés.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Soustraire 54x^{2} des deux côtés.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Combiner 63x^{2} et -54x^{2} pour obtenir 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Soustraire 448x des deux côtés.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Combiner 441x et -448x pour obtenir -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Soustraire 640 des deux côtés.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Soustraire 640 de 630 pour obtenir -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Ajouter x^{4} aux deux côtés.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Réorganiser l’équation pour utiliser le format standard. Ordonner les termes de la puissance la plus élevée à celle la plus faible.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant -10 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=1$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 par x-1 pour obtenir x^{3}+8x^{2}+17x+10. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Par le nome racine Rational, toutes les racines rationnelles d’un polynôme se présentent sous la forme \frac{p}{q}, où p divise le terme constant 10 et q divise le 1 de coefficients de début. Répertorier tous les candidats \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Recherchez une telle racine en testant toutes les valeurs de nombre entier, en commençant par la plus petite valeur absolue. Si aucune racine d'entier n'est trouvée, essayez avec des fractions.

$$x=-1$$

Par le critère de la racine, x-k est un facteur de polynomial pour chaque k racine. Diviser x^{3}+8x^{2}+17x+10 par x+1 pour obtenir x^{2}+7x+10. Résoudre l’équation dont le résultat est égal à 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Remplacez 1 pour a, 7 pour b et 10 pour c dans la formule quadratique.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Effectuer les calculs.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Résoudre l’équation x^{2}+7x+10=0 lorsque l' ± est plus et que ± est moins.

$$x=-5 x=-2$$

Supprimer les valeurs auxquelles la variable ne peut pas être égale.

$$x=-1$$

Répertoriez toutes les solutions qui ont été trouvées.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs 1,-5,-2.

$$x=-1$$