Résoudre 1/x+2+4/x^2-4=1

$$\frac { 1 } { x + 2 } + \frac { 4 } { x ^ { 2 } - 4 } = 1$$

Calculer x

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x+2,x^{2}-4.

$$x-2+4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Additionner -2 et 4 pour obtenir 2.

$$x+2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Considérer \left(x-2\right)\left(x+2\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 2.

$$x+2=x^{2}-4$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+2-x^{2}=-4$$

Ajouter 4 aux deux côtés.

$$x+2-x^{2}+4=0$$

Additionner 2 et 4 pour obtenir 6.

$$x+6-x^{2}=0$$

Réorganisez le polynôme pour utiliser le format standard. Ordonnez les termes de la puissance la plus élevée à la plus faible.

$$-x^{2}+x+6=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -x^{2}+ax+bx+6. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=1 ab=-6=-6$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

La solution est la paire qui donne la somme 1.

$$a=3 b=-2$$

Réécrire -x^{2}+x+6 en tant qu’\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-2x+6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(-2x+6\right)$$

Factorisez -x du premier et -2 dans le deuxième groupe.

$$-x\left(x-3\right)-2\left(x-3\right)$$

Factoriser le facteur commun x-3 en utilisant la distributivité.

$$\left(x-3\right)\left(-x-2\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez x-3=0 et -x-2=0.

$$x=3 x=-2$$

La variable x ne peut pas être égale à -2.

$$x=3$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x+2,x^{2}-4.

$$x-2+4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Additionner -2 et 4 pour obtenir 2.

$$x+2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Considérer \left(x-2\right)\left(x+2\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 2.

$$x+2=x^{2}-4$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+2-x^{2}=-4$$

Ajouter 4 aux deux côtés.

$$x+2-x^{2}+4=0$$

Additionner 2 et 4 pour obtenir 6.

$$x+6-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+x+6=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 1 à b et 6 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\times 6}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 4 par 6.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1 et 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Extraire la racine carrée de 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-1±5}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±5}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -1 et 5.

$$x=\frac{4}{-2}$$

Diviser 4 par -2.

$$x=-2$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±5}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire 5 à -1.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Diviser -6 par -2.

$$x=3$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-2 x=3$$

La variable x ne peut pas être égale à -2.

$$x=3$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -2,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+2\right), le plus petit commun multiple de x+2,x^{2}-4.

$$x-2+4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Additionner -2 et 4 pour obtenir 2.

$$x+2=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$$

Considérer \left(x-2\right)\left(x+2\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Calculer le carré de 2.

$$x+2=x^{2}-4$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$x+2-x^{2}=-4$$

Soustraire 2 des deux côtés.

$$x-x^{2}=-4-2$$

Soustraire 2 de -4 pour obtenir -6.

$$x-x^{2}=-6$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-6$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{6}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{6}{-1}$$

Diviser 1 par -1.

$$x^{2}-x=-\frac{6}{-1}$$

Diviser -6 par -1.

$$x^{2}-x=6$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=6+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=6+\frac{1}{4}$$

Additionner 6 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=3 x=-2$$

La variable x ne peut pas être égale à -2.

$$x=3$$