Résoudre 1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1)

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Calculer x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Combiner x et x pour obtenir 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Additionner -2 et 3 pour obtenir 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}-2x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Combiner 7x et 2x pour obtenir 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Soustraire 9x des deux côtés.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Combiner 2x et -9x pour obtenir -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez 1 à a, -7 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

Calculer le carré de -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Additionner 49 et -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Extraire la racine carrée de 45.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

L’inverse de -7 est 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} lorsque ± est positif. Additionner 7 et 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} lorsque ± est négatif. Soustraire 3\sqrt{5} à 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,2 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-2\right)\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Combiner x et x pour obtenir 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Additionner -2 et 3 pour obtenir 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x-2 par x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Pour trouver l’opposé de x^{2}-2x, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Combiner 7x et 2x pour obtenir 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Soustraire 9x des deux côtés.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Combiner 2x et -9x pour obtenir -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Ajouter x^{2} aux deux côtés.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Soustraire 1 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x=-1$$

Divisez -7, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{7}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{7}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{7}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Additionner -1 et \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Ajouter \frac{7}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$