Résoudre 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Calculer x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+1 par 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combiner x et 2x pour obtenir 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Additionner -1 et 2 pour obtenir 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Soustraire 2x des deux côtés.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combiner 3x et -2x pour obtenir x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -1 à a, 1 à b et 1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Calculer le carré de 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier -4 par -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Additionner 1 et 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplier 2 par -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est positif. Additionner -1 et \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Diviser -1+\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} lorsque ± est négatif. Soustraire \sqrt{5} à -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Diviser -1-\sqrt{5} par -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Étapes de l’élévation au carré

La variable x ne peut pas être égale à une des valeurs -1,1 étant donné que la division par zéro n’est pas définie. Multipliez les deux côtés de l’équation par \left(x-1\right)\left(x+1\right), le plus petit commun multiple de x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Utiliser la distributivité pour multiplier x+1 par 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Combiner x et 2x pour obtenir 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Additionner -1 et 2 pour obtenir 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Soustraire x^{2} des deux côtés.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Soustraire 2x des deux côtés.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Combiner 3x et -2x pour obtenir x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Soustraire 1 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$x-x^{2}=-1$$

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Divisez les deux côtés par -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

La division par -1 annule la multiplication par -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Diviser 1 par -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Diviser -1 par -1.

$$x^{2}-x=1$$

Divisez -1, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{1}{2}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{1}{2} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Additionner 1 et \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Factor x^{2}-x+\frac{1}{4}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Ajouter \frac{1}{2} aux deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$