Résoudre 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Calculer x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Toutes les équations de la forme ax^{2}+bx+c=0 peuvent être résolues à l’aide de la formule quadratique : \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formule quadratique donne deux solutions, une lorsque ± est une addition et une autre lorsqu’il s’agit d’une soustraction.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Soustraire 1 des deux côtés de l’équation.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

La soustraction de 1 de lui-même donne 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez \frac{1}{3} à a, \frac{4}{5} à b et -1 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Calculer le carré de \frac{4}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplier -4 par \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplier -\frac{4}{3} par -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Additionner \frac{16}{25} et \frac{4}{3} en trouvant un dénominateur commun et en additionnant les numérateurs. Réduire ensuite la fraction au maximum si possible.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Extraire la racine carrée de \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplier 2 par \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} lorsque ± est positif. Additionner -\frac{4}{5} et \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Diviser -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} par \frac{2}{3} en multipliant -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} par la réciproque de \frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} lorsque ± est négatif. Soustraire \frac{2\sqrt{111}}{15} à -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Diviser -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} par \frac{2}{3} en multipliant -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} par la réciproque de \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Étapes de l’élévation au carré

Les équations quadratiques de ce type peuvent être résolues en calculant le carré. Pour ce faire, l’équation doit d’abord utiliser le format x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Multipliez les deux côtés par 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

La division par \frac{1}{3} annule la multiplication par \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Diviser \frac{4}{5} par \frac{1}{3} en multipliant \frac{4}{5} par la réciproque de \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Diviser 1 par \frac{1}{3} en multipliant 1 par la réciproque de \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Divisez \frac{12}{5}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer \frac{6}{5}. Ajouter ensuite le carré de \frac{6}{5} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Calculer le carré de \frac{6}{5} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Additionner 3 et \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Simplifier.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Soustraire \frac{6}{5} des deux côtés de l’équation.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$