Résoudre frac{-1-sqrt{3}i}{-1+sqrt{3}i}

$$\frac { - 1 - \sqrt { 3 } i } { - 1 + \sqrt { 3 } i }$$

Évaluer

$$\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}\approx -0,5+0,866025404i$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{-1-i\sqrt{3}}{-1+i\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par -1-i\sqrt{3}.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{\left(-1+i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}$$

Considérer \left(-1+i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{\left(-1\right)^{2}-\left(i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer -1 à la puissance 2 et obtenir 1.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{1-\left(i\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Étendre \left(i\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{1-i^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer i à la puissance 2 et obtenir -1.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{1-\left(-3\right)}$$

Multiplier -1 et -3 pour obtenir 3.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{1+3}$$

Additionner 1 et 3 pour obtenir 4.

$$\frac{\left(-1-i\sqrt{3}\right)\left(-1-i\sqrt{3}\right)}{4}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -1-i\sqrt{3} par -1-i\sqrt{3}.

$$\frac{-\left(-1-i\sqrt{3}\right)-i\left(-1-i\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{4}$$

Pour trouver l’opposé de -1-i\sqrt{3}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{-\left(-1\right)+i\sqrt{3}-i\left(-1-i\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{4}$$

L’inverse de -1 est 1.

$$\frac{1+i\sqrt{3}-i\left(-1-i\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{4}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -i par -1-i\sqrt{3}.

$$\frac{1+i\sqrt{3}+\left(i-\sqrt{3}\right)\sqrt{3}}{4}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier i-\sqrt{3} par \sqrt{3}.

$$\frac{1+i\sqrt{3}+i\sqrt{3}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{4}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{1+i\sqrt{3}+i\sqrt{3}-3}{4}$$

Combiner i\sqrt{3} et i\sqrt{3} pour obtenir 2i\sqrt{3}.

$$\frac{1+2i\sqrt{3}-3}{4}$$

Soustraire 3 de 1 pour obtenir -2.

$$\frac{-2+2i\sqrt{3}}{4}$$

Partie réelle

$$-\frac{1}{2} = -0,5$$