Résoudre (x+3)^2/5+1-(3x-1)^2/5=x(2x-3)/2

$$\frac { ( x + 3 ) ^ { 2 } } { 5 } + 1 - \frac { ( 3 x - 1 ) ^ { 2 } } { 5 } = \frac { x ( 2 x - 3 ) } { 2 }$$

Calculer x

$$x=2$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Étapes d’utilisation de la factorisation par regroupement

Multipliez les deux côtés de l’équation par 10, le plus petit commun multiple de 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Additionner 18 et 10 pour obtenir 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -2 par 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combiner 2x^{2} et -18x^{2} pour obtenir -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combiner 12x et 12x pour obtenir 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Soustraire 2 de 28 pour obtenir 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5x par 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Soustraire 10x^{2} des deux côtés.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combiner -16x^{2} et -10x^{2} pour obtenir -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Ajouter 15x aux deux côtés.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combiner 24x et 15x pour obtenir 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Divisez les deux côtés par 13.

$$-2x^{2}+3x+2=0$$

Pour résoudre l’équation, factorisez le côté gauche en regroupant la main. Le côté gauche doit être réécrit en tant que -2x^{2}+ax+bx+2. Pour rechercher a et b, configurez un système à résoudre.

$$a+b=3 ab=-2\times 2=-4$$

Étant donné que ab est négatif, a et b ont des signes opposés. Étant donné que a+b est positif, le nombre positif a une valeur absolue supérieure à la valeur négative. Répertoriez toutes les paires de ce nombre entier qui donnent le produit -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calculez la somme de chaque paire.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

La solution est la paire qui donne la somme 3.

$$a=4 b=-1$$

Réécrire -2x^{2}+3x+2 en tant qu’\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right).

$$\left(-2x^{2}+4x\right)+\left(-x+2\right)$$

Factoriser 2x dans -2x^{2}+4x.

$$2x\left(-x+2\right)-x+2$$

Factoriser le facteur commun -x+2 en utilisant la distributivité.

$$\left(-x+2\right)\left(2x+1\right)$$

Pour rechercher des solutions d’équation, résolvez -x+2=0 et 2x+1=0.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$

Étapes d’utilisation de la formule quadratique

Multipliez les deux côtés de l’équation par 10, le plus petit commun multiple de 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Additionner 18 et 10 pour obtenir 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -2 par 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combiner 2x^{2} et -18x^{2} pour obtenir -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combiner 12x et 12x pour obtenir 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Soustraire 2 de 28 pour obtenir 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5x par 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Soustraire 10x^{2} des deux côtés.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combiner -16x^{2} et -10x^{2} pour obtenir -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Ajouter 15x aux deux côtés.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combiner 24x et 15x pour obtenir 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Cette équation utilise le format standard : ax^{2}+bx+c=0. Substituez -26 à a, 39 à b et 26 à c dans la formule quadratique, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Calculer le carré de 39.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521-4\left(-26\right)\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Multiplier -4 par -26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+104\times 26}}{2\left(-26\right)}$$

Multiplier 104 par 26.

$$x=\frac{-39±\sqrt{1521+2704}}{2\left(-26\right)}$$

Additionner 1521 et 2704.

$$x=\frac{-39±\sqrt{4225}}{2\left(-26\right)}$$

Extraire la racine carrée de 4225.

$$x=\frac{-39±65}{2\left(-26\right)}$$

Multiplier 2 par -26.

$$x=\frac{-39±65}{-52}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-39±65}{-52} lorsque ± est positif. Additionner -39 et 65.

$$x=\frac{26}{-52}$$

Réduire la fraction \frac{26}{-52} au maximum en extrayant et en annulant 26.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Résolvez maintenant l’équation x=\frac{-39±65}{-52} lorsque ± est négatif. Soustraire 65 à -39.

$$x=-\frac{104}{-52}$$

Diviser -104 par -52.

$$x=2$$

L’équation est désormais résolue.

$$x=-\frac{1}{2} x=2$$

Étapes de l’élévation au carré

Multipliez les deux côtés de l’équation par 10, le plus petit commun multiple de 5,2.

$$2\left(x+3\right)^{2}+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pour développer \left(x+3\right)^{2}.

$$2\left(x^{2}+6x+9\right)+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par x^{2}+6x+9.

$$2x^{2}+12x+18+10-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Additionner 18 et 10 pour obtenir 28.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(3x-1\right)^{2}=5x\left(2x-3\right)$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(3x-1\right)^{2}.

$$2x^{2}+12x+28-2\left(9x^{2}-6x+1\right)=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier -2 par 9x^{2}-6x+1.

$$2x^{2}+12x+28-18x^{2}+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combiner 2x^{2} et -18x^{2} pour obtenir -16x^{2}.

$$-16x^{2}+12x+28+12x-2=5x\left(2x-3\right)$$

Combiner 12x et 12x pour obtenir 24x.

$$-16x^{2}+24x+28-2=5x\left(2x-3\right)$$

Soustraire 2 de 28 pour obtenir 26.

$$-16x^{2}+24x+26=5x\left(2x-3\right)$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 5x par 2x-3.

$$-16x^{2}+24x+26=10x^{2}-15x$$

Soustraire 10x^{2} des deux côtés.

$$-16x^{2}+24x+26-10x^{2}=-15x$$

Combiner -16x^{2} et -10x^{2} pour obtenir -26x^{2}.

$$-26x^{2}+24x+26=-15x$$

Ajouter 15x aux deux côtés.

$$-26x^{2}+24x+26+15x=0$$

Combiner 24x et 15x pour obtenir 39x.

$$-26x^{2}+39x+26=0$$

Soustraire 26 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-26x^{2}+39x=-26$$

Divisez les deux côtés par -26.

$$\frac{-26x^{2}+39x}{-26}=-\frac{26}{-26}$$

La division par -26 annule la multiplication par -26.

$$x^{2}+\frac{39}{-26}x=-\frac{26}{-26}$$

Réduire la fraction \frac{39}{-26} au maximum en extrayant et en annulant 13.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=-\frac{26}{-26}$$

Diviser -26 par -26.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=1$$

Divisez -\frac{3}{2}, le coefficient de la x terme, par 2 pour récupérer -\frac{3}{4}. Ajouter ensuite le carré de -\frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation. Cette étape permet de transformer le côté gauche de l’équation en carré parfait.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=1+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Calculer le carré de -\frac{3}{4} en élévant au carré le numérateur et le dénominateur de la fraction.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=1+\frac{9}{16}$$

Additionner 1 et \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En général, lorsque x^{2}+bx+c est un carré parfait, il peut toujours être factoriser comme \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Extraire la racine carrée des deux côtés de l’équation.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplifier.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{5}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$$

Ajouter \frac{3}{4} aux deux côtés de l’équation.

$$x=2 x=-\frac{1}{2}$$