Résoudre (4+3i)(1-2i)/(4-3i)(1+2i)

$$\frac { ( 4 + 3 i ) ( 1 - 2 i ) } { ( 4 - 3 i ) ( 1 + 2 i ) }$$

Évaluer

$$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i=0,6-0,8i$$

Étapes de la solution

Multipliez les nombres complexes 4+3i et 1-2i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)i^{2}}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right)}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Effectuez les multiplications dans 4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right).

$$\frac{4-8i+3i+6}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 4-8i+3i+6.

$$\frac{4+6+\left(-8+3\right)i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Effectuez les additions dans 4+6+\left(-8+3\right)i.

$$\frac{10-5i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)}$$

Multipliez les nombres complexes 4-3i et 1+2i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2i^{2}}$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right)}$$

Effectuez les multiplications dans 4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right).

$$\frac{10-5i}{4+8i-3i+6}$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 4+8i-3i+6.

$$\frac{10-5i}{4+6+\left(8-3\right)i}$$

Effectuez les additions dans 4+6+\left(8-3\right)i.

$$\frac{10-5i}{10+5i}$$

Multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué complexe du dénominateur, 10-5i.

$$\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{\left(10+5i\right)\left(10-5i\right)}$$

Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{10^{2}-5^{2}i^{2}}$$

Par définition, i^{2} est égal à -1. Calculez le dénominateur.

$$\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{125}$$

Multipliez les nombres complexes 10-5i et 10-5i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)i^{2}}{125}$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right)}{125}$$

Effectuez les multiplications dans 10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right).

$$\frac{100-50i-50i-25}{125}$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 100-50i-50i-25.

$$\frac{100-25+\left(-50-50\right)i}{125}$$

Effectuez les additions dans 100-25+\left(-50-50\right)i.

$$\frac{75-100i}{125}$$

Diviser 75-100i par 125 pour obtenir \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i.

$$\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i$$

Partie réelle

$$\frac{3}{5} = 0,6$$

Étapes de la solution

Multipliez les nombres complexes 4+3i et 1-2i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$Re(\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)i^{2}}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$Re(\frac{4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right)}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Effectuez les multiplications dans 4\times 1+4\times \left(-2i\right)+3i\times 1+3\left(-2\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{4-8i+3i+6}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 4-8i+3i+6.

$$Re(\frac{4+6+\left(-8+3\right)i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Effectuez les additions dans 4+6+\left(-8+3\right)i.

$$Re(\frac{10-5i}{\left(4-3i\right)\left(1+2i\right)})$$

Multipliez les nombres complexes 4-3i et 1+2i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$Re(\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2i^{2}})$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$Re(\frac{10-5i}{4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right)})$$

Effectuez les multiplications dans 4\times 1+4\times \left(2i\right)-3i-3\times 2\left(-1\right).

$$Re(\frac{10-5i}{4+8i-3i+6})$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 4+8i-3i+6.

$$Re(\frac{10-5i}{4+6+\left(8-3\right)i})$$

Effectuez les additions dans 4+6+\left(8-3\right)i.

$$Re(\frac{10-5i}{10+5i})$$

Multiplier le numérateur et le dénominateur de \frac{10-5i}{10+5i} par le conjugué complexe du dénominateur, 10-5i.

$$Re(\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{\left(10+5i\right)\left(10-5i\right)})$$

Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{10^{2}-5^{2}i^{2}})$$

Par définition, i^{2} est égal à -1. Calculez le dénominateur.

$$Re(\frac{\left(10-5i\right)\left(10-5i\right)}{125})$$

Multipliez les nombres complexes 10-5i et 10-5i de la même manière que vous multipliez des binômes.

$$Re(\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)i^{2}}{125})$$

Par définition, i^{2} est égal à -1.

$$Re(\frac{10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right)}{125})$$

Effectuez les multiplications dans 10\times 10+10\times \left(-5i\right)-5i\times 10-5\left(-5\right)\left(-1\right).

$$Re(\frac{100-50i-50i-25}{125})$$

Combinez les parties réelles et imaginaires dans 100-50i-50i-25.

$$Re(\frac{100-25+\left(-50-50\right)i}{125})$$

Effectuez les additions dans 100-25+\left(-50-50\right)i.

$$Re(\frac{75-100i}{125})$$

Diviser 75-100i par 125 pour obtenir \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i.

$$Re(\frac{3}{5}-\frac{4}{5}i)$$

La partie réelle de \frac{3}{5}-\frac{4}{5}i est \frac{3}{5}.

$$\frac{3}{5}$$