Résoudre (2a-5)^2/2-(a-3)^2+1/2geqa^2

$$\frac { ( 2 a - 5 ) ^ { 2 } } { 2 } - ( a - 3 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { 2 } \geq a ^ { 2 }$$

Calculer a

$$a\leq 1$$

Étapes de la solution

Multiplier les deux côtés de l’équation par 2. Étant donné que 2 est positif, la direction d’inégalité reste la même.

$$2\left(\frac{\left(2a-5\right)^{2}}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(2a-5\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a-3\right)^{2}\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(a-3\right)^{2}.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-\left(a^{2}-6a+9\right)\right)+1\geq 2a^{2}$$

Pour trouver l’opposé de a^{2}-6a+9, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$2\left(\frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9\right)+1\geq 2a^{2}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-a^{2}+6a-9.

$$2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Exprimer 2\times \frac{4a^{2}-20a+25}{2} sous la forme d’une fraction seule.

$$\frac{2\left(4a^{2}-20a+25\right)}{2}-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Annuler 2 et 2.

$$4a^{2}-20a+25-2a^{2}+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Combiner 4a^{2} et -2a^{2} pour obtenir 2a^{2}.

$$2a^{2}-20a+25+12a-18+1\geq 2a^{2}$$

Combiner -20a et 12a pour obtenir -8a.

$$2a^{2}-8a+25-18+1\geq 2a^{2}$$

Soustraire 18 de 25 pour obtenir 7.

$$2a^{2}-8a+7+1\geq 2a^{2}$$

Additionner 7 et 1 pour obtenir 8.

$$2a^{2}-8a+8\geq 2a^{2}$$

Soustraire 2a^{2} des deux côtés.

$$2a^{2}-8a+8-2a^{2}\geq 0$$

Combiner 2a^{2} et -2a^{2} pour obtenir 0.

$$-8a+8\geq 0$$

Soustraire 8 des deux côtés. Toute valeur soustraite de zéro donne son opposé.

$$-8a\geq -8$$

Divisez les deux côtés par -8. Étant donné que -8 est négatif, la direction d’inégalité est modifiée.

$$a\leq \frac{-8}{-8}$$

Diviser -8 par -8 pour obtenir 1.

$$a\leq 1$$