Résoudre frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Calculer b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Étapes de calcul des équations linéaires

Rationaliser le dénominateur de \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} en multipliant le numérateur et le dénominateur par \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Considérer \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Calculer le carré de \sqrt{3}. Calculer le carré de 1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Soustraire 1 de 3 pour obtenir 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Multiplier \sqrt{3}-1 et \sqrt{3}-1 pour obtenir \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Utilisez la formule du binôme \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pour développer \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Additionner 3 et 1 pour obtenir 4.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Divisez chaque terme de 4-2\sqrt{3} par 2 pour obtenir 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Échanger les côtés afin que tous les termes de variable soient à gauche.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Soustraire a des deux côtés.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

L’équation utilise le format standard.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Divisez les deux côtés par \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

La division par \sqrt{3} annule la multiplication par \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Diviser -\sqrt{3}-a+2 par \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Calculer a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$