Résoudre frac{3/2+sqrt{3}-2/2-sqrt{3}}{2-5sqrt{3}}

$$\frac { \frac { 3 } { 2 + \sqrt { 3 } } - \frac { 2 } { 2 - \sqrt { 3 } } } { 2 - 5 \sqrt { 3 } }$$

Évaluer

$$1$$

Étapes de la solution

Rationaliser le dénominateur de \frac{3}{2+\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2-\sqrt{3}.

$$\frac{\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}-\frac{2}{2-\sqrt{3}}}{2-5\sqrt{3}}$$

Considérer \left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}-\frac{2}{2-\sqrt{3}}}{2-5\sqrt{3}}$$

Calculer le carré de 2. Calculer le carré de \sqrt{3}.

$$\frac{\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{4-3}-\frac{2}{2-\sqrt{3}}}{2-5\sqrt{3}}$$

Soustraire 3 de 4 pour obtenir 1.

$$\frac{\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)}{1}-\frac{2}{2-\sqrt{3}}}{2-5\sqrt{3}}$$

Tout nombre divisé par 1 donne lui-même.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)-\frac{2}{2-\sqrt{3}}}{2-5\sqrt{3}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{2}{2-\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2+\sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)-\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}}{2-5\sqrt{3}}$$

Considérer \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)-\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}}{2-5\sqrt{3}}$$

Calculer le carré de 2. Calculer le carré de \sqrt{3}.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)-\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}}{2-5\sqrt{3}}$$

Soustraire 3 de 4 pour obtenir 1.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)-\frac{2\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}}{2-5\sqrt{3}}$$

Tout nombre divisé par 1 donne lui-même.

$$\frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2-5\sqrt{3}}$$

Rationaliser le dénominateur de \frac{3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)}{2-5\sqrt{3}} en multipliant le numérateur et le dénominateur par 2+5\sqrt{3}.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{\left(2-5\sqrt{3}\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}$$

Considérer \left(2-5\sqrt{3}\right)\left(2+5\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(-5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{4-\left(-5\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Étendre \left(-5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{4-\left(-5\right)^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Calculer -5 à la puissance 2 et obtenir 25.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{4-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{4-25\times 3}$$

Multiplier 25 et 3 pour obtenir 75.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{4-75}$$

Soustraire 75 de 4 pour obtenir -71.

$$\frac{\left(3\left(2-\sqrt{3}\right)-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{-71}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 3 par 2-\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6-3\sqrt{3}-2\left(2+\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{-71}$$

Utiliser la distributivité pour multiplier 2 par 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(6-3\sqrt{3}-\left(4+2\sqrt{3}\right)\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{-71}$$

Pour trouver l’opposé de 4+2\sqrt{3}, recherchez l’opposé de chaque terme.

$$\frac{\left(6-3\sqrt{3}-4-2\sqrt{3}\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{-71}$$

Soustraire 4 de 6 pour obtenir 2.

$$\frac{\left(2-3\sqrt{3}-2\sqrt{3}\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{-71}$$

Combiner -3\sqrt{3} et -2\sqrt{3} pour obtenir -5\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2-5\sqrt{3}\right)\left(2+5\sqrt{3}\right)}{-71}$$

Considérer \left(2-5\sqrt{3}\right)\left(2+5\sqrt{3}\right). Une multiplication peut être transformée en différence de carrés à l’aide de la règle suivante : \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2^{2}-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}{-71}$$

Calculer 2 à la puissance 2 et obtenir 4.

$$\frac{4-\left(5\sqrt{3}\right)^{2}}{-71}$$

Étendre \left(5\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{4-5^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-71}$$

Calculer 5 à la puissance 2 et obtenir 25.

$$\frac{4-25\left(\sqrt{3}\right)^{2}}{-71}$$

Le carré de \sqrt{3} est 3.

$$\frac{4-25\times 3}{-71}$$

Multiplier 25 et 3 pour obtenir 75.

$$\frac{4-75}{-71}$$

Soustraire 75 de 4 pour obtenir -71.

$$\frac{-71}{-71}$$

Diviser -71 par -71 pour obtenir 1.

$$1$$

Factoriser

$$1$$